Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian

I. Khái niệm vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, một vectơ được xác định bởi bộ ba số thực (x; y; z), ký hiệu là a = (x; y; z). x, y, z được gọi là các tọa độ của vectơ a. Vectơ không là vectơ có tọa độ bằng 0, tức là 0 = (0; 0; 0).

1. Các loại vectơ đặc biệt

• Vectơ đơn vị: Vectơ có độ dài bằng 1.
• Vectơ đối: Vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với một vectơ cho trước. Nếu a = (x; y; z) thì vectơ đối của a là -a = (-x; -y; -z).
• Vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng cùng phương hoặc ngược phương.

II. Các phép toán trên vectơ trong không gian

1. Phép cộng vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Tổng của hai vectơ a và b là vectơ c = a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂).

2. Phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Hiệu của hai vectơ a và b là vectơ d = a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂).

3. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x; y; z) và một số thực k. Tích của vectơ a với số thực k là vectơ ka = (kx; ky; kz).

III. Tính chất của các phép toán trên vectơ

1. Tính chất giao hoán của phép cộng

a + b = b + a

2. Tính chất kết hợp của phép cộng

(a + b) + c = a + (b + c)

3. Tính chất của phần tử không

a + 0 = a

4. Tính chất của phần tử đối

a + (-a) = 0

5. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

k(a + b) = ka + kb

6. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép nhân

(k₁ + k₂)a = k₁a + k₂a

7. Tính chất kết hợp của phép nhân

(k₁k₂)a = k₁(k₂a)

8. Tính chất của phần tử đơn vị

1a = a

IV. Bài tập vận dụng

Cho các vectơ a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính:

1. a + b
2. a - b
3. 2a
4. -3b

(Đáp án: 1. (-1; 3; 3); 2. (3; 1; 3); 3. (2; 4; 6); 4. (6; -3; 0))

Bài học này cung cấp nền tảng kiến thức quan trọng về vectơ trong không gian và các phép toán cơ bản. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 12.