Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - SBT Toán 11 Kết nối tri thức: Giải chi tiết

Bài 10 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào việc củng cố và mở rộng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, đặc biệt là các mối quan hệ song song. Để nắm vững nội dung này, chúng ta cần hiểu rõ các định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết các trường hợp song song.

I. Các khái niệm cơ bản

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là song song với một mặt phẳng nếu nó không có điểm chung với mặt phẳng đó. Điều kiện để đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) là:

• d không nằm trong (P).
• d không có điểm chung với (P).

2. Hai mặt phẳng song song: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. Điều kiện để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song là:

• (P) và (Q) không có điểm chung.
• (P) chứa một đường thẳng d song song với (Q).

II. Các định lý và tính chất quan trọng

1. Định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và không có điểm chung với mặt phẳng đó thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng.

2. Định lý về hai mặt phẳng song song: Nếu hai mặt phẳng song song thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và không song song với mặt phẳng kia sẽ cắt mặt phẳng còn lại tại một điểm duy nhất.

III. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng đường thẳng AM song song với mặt phẳng (SCD).

Giải:

1. Gọi N là trung điểm của cạnh CD.
2. Chứng minh rằng MN song song với SD (do MN là đường trung bình của tam giác BCD).
3. Vì MN song song với SD và MN không nằm trong mặt phẳng (SCD) nên MN song song với (SCD).
4. Do M thuộc AM và MN song song với (SCD) nên AM song song với (SCD).

Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Trên (P) có hai điểm A và B. Trên (Q) có hai điểm C và D. Chứng minh rằng AB song song với CD.

Giải:

Vì (P) song song với (Q) nên hình chiếu vuông góc của A và B lên (Q) lần lượt là A' và B'. Do đó, AB song song với A'B'. Vì A'B' song song với CD (do cùng nằm trong mặt phẳng (Q) và cùng song song với một đường thẳng nào đó) nên AB song song với CD.

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, các em cần luyện tập thường xuyên các bài tập trong sách bài tập và các đề thi thử. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết các trường hợp song song. Đồng thời, rèn luyện kỹ năng vẽ hình và lập luận logic để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

Các dạng bài tập thường gặp:

• Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
• Chứng minh hai mặt phẳng song song.
• Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Giaitoan.edu.vn hy vọng rằng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn trong việc học tập và ôn luyện môn Toán 11.