Bài 16. Giới hạn của hàm số

Bài 16 trong sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào việc giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm và giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng. Đây là một bước quan trọng trong việc xây dựng nền tảng cho các khái niệm giải tích cao hơn như đạo hàm và tích phân.

1. Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Để hiểu rõ hơn, ta xét các trường hợp x tiến tới a từ bên trái và bên phải.

Giới hạn bên trái: lim_x→a^- f(x) là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên trái (x < a).
Giới hạn bên phải: lim_x→a⁺ f(x) là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên phải (x > a).

Giới hạn của f(x) tại a tồn tại khi và chỉ khi giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại a tồn tại và bằng nhau. Tức là: lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = L.

2. Khái niệm giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng

Khi x tiến tới vô cùng (x → +∞ hoặc x → -∞), hàm số f(x) có thể tiến tới một giá trị hữu hạn L (gọi là giới hạn hữu hạn) hoặc tiến tới vô cùng (+∞ hoặc -∞).

Giới hạn hữu hạn: lim_x→+∞ f(x) = L hoặc lim_x→-∞ f(x) = L
Giới hạn vô cùng: lim_x→+∞ f(x) = +∞ hoặc lim_x→-∞ f(x) = -∞

3. Các dạng giới hạn thường gặp

Trong quá trình giải toán, các em sẽ thường gặp các dạng giới hạn sau:

Giới hạn của hàm đa thức: lim_x→a P(x) = P(a)
Giới hạn của hàm phân thức: Cần xét các trường hợp mẫu số khác 0, mẫu số bằng 0,...
Giới hạn của hàm lượng giác: Sử dụng các công thức giới hạn lượng giác cơ bản.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4.

Ví dụ 2: Tính lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 3)

Giải: Chia cả tử và mẫu cho x, ta được lim_x→+∞ (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2.

5. Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn

Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số.
Sử dụng các công thức giới hạn cơ bản một cách linh hoạt.
Biến đổi biểu thức để đưa về các dạng giới hạn quen thuộc.
Chú ý đến các trường hợp giới hạn vô cùng.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 16. Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!