Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Kết nối tri thức, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số. Bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác các bài giải mới nhất.
Tính các giới hạn sau: a) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to + infty } frac{{1 - 2x}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}) b) (mathop {{rm{lim}}}limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 2} - x} right))
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
b) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\) với \(n\) là số mũ lớn nhất.
b) Nhân với biểu thức liên hợp \((\sqrt A + B).(\sqrt A - B) = A - {B^2}\).
Lời giải chi tiết
Vì \(x \to + \infty \) nên \(x > 0\), suy ra \(\left| x \right| = x\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x} - 2}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{{0 - 2}}{{\sqrt {1 + 0} }} = - 2\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {{x^2} + x + 2} \right) - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} + x}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left[ {\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1} \right]}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}} = \frac{{1 + 0}}{{\sqrt {1 + 0 + 0} + 1}} = \frac{1}{2}\).
Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đường cong. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và công thức sau:
Nội dung bài tập:
Bài 5.12 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Hướng dẫn giải chi tiết:
Để giải bài tập 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức, học sinh cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ minh họa:
Cho hàm số y = x2 - 2x + 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(2, 1).
Giải:
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 - 2x + 1 tại điểm M(2, 1) là y = 2x - 3.
Lưu ý:
Khi giải các bài tập về đạo hàm và tiếp tuyến, học sinh cần chú ý các điểm sau:
Bài tập luyện tập:
Để củng cố kiến thức về đạo hàm và tiếp tuyến, học sinh có thể làm thêm các bài tập sau:
Kết luận:
Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Bằng cách nắm vững kiến thức và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
