Bài 2. Cấp số cộng

Bài 2. Cấp số cộng - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Giải pháp học tập toàn diện

Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng. Việc hiểu rõ khái niệm và các tính chất của cấp số cộng là vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 11, đồng thời là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn.

I. Khái niệm cơ bản về cấp số cộng

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu có một số công sai d sao cho:

• u_n+1 = u_n + d với mọi n ≥ 1

Trong đó:

• u_n là số hạng thứ n của dãy
• d là công sai

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng thường được ký hiệu là u₁.

II. Công thức tổng quát của số hạng thứ n

Số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Công thức này cho phép chúng ta tính bất kỳ số hạng nào của cấp số cộng chỉ cần biết số hạng đầu tiên và công sai.

III. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức:

S_n = (n/2)(u₁ + u_n) hoặc S_n = (n/2)[2u₁ + (n - 1)d]

Công thức này giúp chúng ta tính tổng của một số lượng lớn các số hạng trong cấp số cộng một cách nhanh chóng và chính xác.

IV. Các dạng bài tập thường gặp về cấp số cộng

1. Tìm số hạng thứ n: Sử dụng công thức u_n = u₁ + (n - 1)d.
2. Tìm công sai: Sử dụng công thức d = u_n+1 - u_n.
3. Tìm số hạng đầu tiên: Sử dụng công thức u₁ = u_n - (n - 1)d.
4. Tìm tổng của n số hạng đầu tiên: Sử dụng công thức S_n = (n/2)(u₁ + u_n) hoặc S_n = (n/2)[2u₁ + (n - 1)d].
5. Chứng minh một dãy số là cấp số cộng: Chứng minh rằng hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số.

V. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu tiên u₁ = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.

Giải:

u₅ = u₁ + (5 - 1)d = 2 + 4 * 3 = 14

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 là 7 và số hạng thứ 7 là 15. Tìm công sai của cấp số cộng.

Giải:

u₇ = u₃ + (7 - 3)d => 15 = 7 + 4d => d = 2

VI. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về cấp số cộng, các em nên luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, giúp các em củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hãy truy cập giaitoan.edu.vn để khám phá thêm nhiều bài học và bài tập về cấp số cộng và các chủ đề toán học khác. Chúc các em học tập tốt!