Cấp số cộng là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là theo bộ sách Chân trời sáng tạo. Việc nắm vững lý thuyết và các công thức liên quan sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu về lý thuyết Cấp số cộng, cùng với các bài tập vận dụng đa dạng để bạn có thể luyện tập và củng cố kiến thức.
1. Cấp số cộng
1. Cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d, nghĩa là:
\({u_n} = {u_{n - 1}} + d,n \ge 2\)
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nhận xét: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:
\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\)
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định theo công thức\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d,n \ge 2.\)
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)
Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi vào số hạng đứng trước nó. Số không đổi này được gọi là công sai của cấp số cộng, thường được ký hiệu là d.
Một cấp số cộng (an) được xác định bởi số hạng đầu a1 và công sai d. Công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số cộng là:
an = a1 + (n - 1)d
Trong đó:
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (Sn) được tính theo công thức:
Sn = (n/2) * (a1 + an) hoặc Sn = (n/2) * [2a1 + (n - 1)d]
Một số tính chất quan trọng của cấp số cộng:
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu a1 = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.
Giải: a5 = a1 + (5 - 1)d = 2 + 4 * 3 = 14
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có số hạng đầu a1 = 5 và tổng của 10 số hạng đầu tiên là S10 = 100. Tìm công sai d.
Giải: S10 = (10/2) * [2a1 + (10 - 1)d] = 5 * (10 + 9d) = 100. Suy ra 10 + 9d = 20, do đó d = 10/9
Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Để nắm vững lý thuyết Cấp số cộng, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hãy truy cập giaitoan.edu.vn để học toán hiệu quả và đạt kết quả cao!
