Bài 5 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hóa lượng giác. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về công thức lượng giác cơ bản và kỹ năng biến đổi đại số.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 5 trang 56, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
Đề bài
Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} - {u_1} = 20\\{u_2} + {u_5} = 54\end{array} \right.\);
b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_3} = 0\\{u_2} + {u_5} = 80\end{array} \right.\);
c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_2} = 3\\{u_8}.{u_3} = 24\end{array} \right.\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\), sau đó đưa về giải hệ phương trình.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} - {u_1} = 20\\{u_2} + {u_5} = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 2{\rm{d}}} \right) - {u_1} = 20\\\left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 4{\rm{d}}} \right) = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2{\rm{d}} - {u_1} = 20\\{u_1} + d + {u_1} + 4{\rm{d}} = 54\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{d}} = 20\\2{u_1} + 5{\rm{d}} = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 10\\2{u_1} + 5.10 = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 10\\{u_1} = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 10\).
b)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_3} = 0\\{u_2} + {u_5} = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = 0\\\left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d + {u_1} + 2d = 0\\{u_1} + d + {u_1} + 4d = 80\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 3d = 0\\2{u_1} + 5d = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 60\\d = 40\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 60\) và công sai \(d = 40\).
c)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 4d} \right) - \left( {{u_1} + d} \right) = 3\\\left( {{u_1} + 7d} \right).\left( {{u_1} + 2d} \right) = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d - {u_1} - d = 3\\\left( {{u_1} + 7d} \right).\left( {{u_1} + 2d} \right) = 24\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3d = 3\\\left( {{u_1} + 7d} \right).\left( {{u_1} + 2d} \right) = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 1\left( 1 \right)\\\left( {{u_1} + 7d} \right).\left( {{u_1} + 2d} \right) = 24\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Thế (1) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {{u_1} + 7.1} \right).\left( {{u_1} + 2.1} \right) = 24 \Leftrightarrow \left( {{u_1} + 7} \right).\left( {{u_1} + 2} \right) = 24\\ \Leftrightarrow u_1^2 + 7{u_1} + 2{u_1} + 14 = 24 \Leftrightarrow u_1^2 + 9{u_1} - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 10\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy có hai cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:
‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 1\).
‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = - 10\) và công sai \(d = 1\).
Bài 5 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hóa lượng giác. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và kỹ năng biến đổi đại số.
Bài 5 yêu cầu học sinh thực hiện các phép biến đổi lượng giác để rút gọn biểu thức hoặc chứng minh đẳng thức. Các dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để giải Bài 5 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo, chúng ta sẽ đi qua từng bước sau:
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = sin(x + y) + sin(x - y)
Giải:
Sử dụng công thức cộng và trừ góc, ta có:
A = (sin x cos y + cos x sin y) + (sin x cos y - cos x sin y)
A = 2 sin x cos y
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức cos2x - sin2x = cos 2x
Giải:
Sử dụng công thức góc đôi, ta có:
cos 2x = cos2x - sin2x
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Để củng cố kiến thức, các em học sinh có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Bài 5 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hóa lượng giác. Bằng cách nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số, các em học sinh có thể giải bài tập này một cách hiệu quả. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập này và đạt kết quả tốt trong học tập.
| Công thức lượng giác | Mô tả |
|---|---|
| sin(x + y) | sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y |
| cos(x + y) | cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y |
| sin 2x | sin 2x = 2 sin x cos x |
| cos 2x | cos 2x = cos2x - sin2x |
