Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm: tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số. Đây là một kỹ năng cần thiết không chỉ cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn cho nhiều lĩnh vực khác trong toán học và các ngành khoa học kỹ thuật.

I. Khái niệm cơ bản

1. Giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng: Hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (a, b) tại điểm x₀ nếu f(x₀) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b).

2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a, b) tại điểm x₀ nếu f(x₀) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b).

3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn: Tương tự như trên khoảng, nhưng x thuộc [a, b].

II. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

1. Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
2. Bước 2: Tính đạo hàm f'(x).
3. Bước 3: Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 và tìm các điểm x mà f'(x) không xác định.
4. Bước 4: Lập bảng biến thiên: Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
5. Bước 5: Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: Dựa vào bảng biến thiên, xác định các điểm cực đại, cực tiểu và giá trị tương ứng. So sánh các giá trị này với giá trị của hàm số tại các mút của đoạn (nếu có) để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.

III. Các dạng bài tập thường gặp

1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn: Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu học sinh áp dụng các bước đã nêu ở trên.

2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: Dạng bài tập này thường phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh phải xét giới hạn của hàm số tại các mút của khoảng.

3. Bài toán tối ưu: Đây là dạng bài tập ứng dụng, yêu cầu học sinh tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức nào đó liên quan đến hàm số đã cho.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

• f'(x) = 3x² - 6x
• Giải f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2.
• Lập bảng biến thiên:

x	-1	0	2	3
f'(x)	+	-	+	+
f(x)	0	2	-2	8

• Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 8 tại x = 3, và giá trị nhỏ nhất là -2 tại x = 2.

V. Luyện tập

Để nắm vững kiến thức về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức, các đề thi thử THPT Quốc gia và các trang web học toán online.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - SBT Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!