Bài 1.15 trang 15 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 1.15 trang 15 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: (fleft( x right) = left{ begin{array}{l}2x - 1,{rm{ }}0 le x le 2{x^2} - 5x + 9,{rm{ }}2 < x le 3.end{array} right.)
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 1,{\rm{ }}0 \le x \le 2\\{x^2} - 5x + 9,{\rm{ }}2 < x \le 3.\end{array} \right.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) nhưng \(f\left( x \right)\) là hàm có hai công thức trên \(f\left( x \right)\) nên sẽ tách thành hai trường hợp là \(x \in \left[ {0;2} \right]\) và \(x \in \left( {2;\left. 3 \right]} \right.\). Với mỗi trường hợp ta lần lượt thực hiện các bước sau:
- Tìm các điểm thuộc đoạn/nửa khoảng đang xét mà tại đó giá trị đạo hàm bằng không hoặc không tồn tại.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở bước trước và tại biên của đoạn đang xét (nếu có).
Sau khi thực hiện các bước trên với cả hai trường hợp, tìm số lớn nhất, nhỏ nhất trong các số vừa tính ta thu được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên toàn đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).
Lời giải chi tiết
+ Xét \(x \in \left[ {0;2} \right]\) ta có \(f\left( x \right) = 2x - 1\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 2 \ne 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {0;2} \right)\). Mặt khác \(f\left( 0 \right) = 2 \cdot 0 - 1 = - 1;{\rm{ f}}\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 - 1 = 3.\)
+ Xét \(x \in \left( {2;\left. 3 \right]} \right.\) ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 5x + 9\). Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2} \in \left( {2;3} \right)\).
Ta có \(f\left( {\frac{5}{2}} \right) = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 5 \cdot \frac{5}{2} + 9 = \frac{{11}}{4};{\rm{ f}}\left( 3 \right) = {3^2} - 5 \cdot 3 + 9 = 3.\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 1\); \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = f\left( 3 \right) = 3\).
Bài 1.15 trang 15 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về giới hạn, các tính chất của giới hạn và các phương pháp tính giới hạn.
Bài tập 1.15 yêu cầu tính giới hạn của các hàm số khi x tiến tới một giá trị cụ thể. Các hàm số có thể là hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng giác hoặc các hàm số khác.
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết cho từng ý của bài tập 1.15. Ví dụ:)
a) lim (x→2) (x² - 4) / (x - 2)
Ta có: (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2)
Vậy, lim (x→2) (x² - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4
b) lim (x→0) sin(3x) / x
Ta có: lim (x→0) sin(3x) / x = 3 * lim (x→0) sin(3x) / (3x) = 3 * 1 = 3 (sử dụng giới hạn đặc biệt lim (sin x)/x = 1 khi x → 0)
Ngoài bài 1.15, còn rất nhiều bài tập về giới hạn có dạng tương tự. Để giải các bài tập này, học sinh cần luyện tập thường xuyên và nắm vững các phương pháp giải đã trình bày ở trên.
Giới hạn là một khái niệm cơ bản trong toán học, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như giải tích, hình học, vật lý, kinh tế. Trong thực tế, giới hạn được sử dụng để mô tả các hiện tượng biến đổi liên tục, như tốc độ, gia tốc, mật độ, v.v.
Để học tốt về giới hạn, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài 1.15 trang 15 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
