Bài 1.17 trang 15 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 1.17 trang 15 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ (x) dặm/giờ sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức (frac{1}{{200}}left( {frac{{2500}}{x} + x} right)) gallon/dặm. Nếu giá nhiên liệu là (3,6) USD/gallon thì chi phí nhiên liệu (C) (tính bằng USD) khi lái xe (200) dặm với tốc độ (x) dặm/giờ được cho bởi công thức (C = Cleft( x right) = 3,6 cdot left( {frac{{2500}}{x} + x} right)). Ở đây, dặm và gallon, là những đơn vị đo lường phổ biến của Mỹ. Biết rằng tốc độ (dặm/giờ) của xe tải t
Đề bài
Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ \(x\) dặm/giờ sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức \(\frac{1}{{200}}\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) gallon/dặm. Nếu giá nhiên liệu là \(3,6\) USD/gallon thì chi phí nhiên liệu \(C\) (tính bằng USD) khi lái xe \(200\) dặm với tốc độ \(x\) dặm/giờ được cho bởi công thức
\(C = C\left( x \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\).
Ở đây, dặm và gallon, là những đơn vị đo lường phổ biến của Mỹ. Biết rằng tốc độ (dặm/giờ) của xe tải trên một chuyến đường cao tốc bị hạn chế trong khoảng \(\left[ {10;75} \right]\). Hỏi:
a) Lái xe ở tốc độ nào thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất?
b) Nếu người lái xe tải được trả lương \(28\) USD/giờ và tiền lương được cộng vào chi phí nhiên liệu thì tốc độ di chuyển của xe tải là bao nhiêu để chi phí tiết kiệm nhất (tức là tổng chi phí mà công ty phải trả cho lái xe và chi phí nhiên liệu là nhỏ nhất)?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Yêu cầu bài toán tương đương tìm \(x\) để \(C\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Ta xét hàm số \(C\left( x \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) với \(x \in \left[ {10;75} \right]\) sau đó tìm giá trị lớn nhất trên đoạn.
Ý b:
+ Từ đề bài xác định được công thức hàm \(D\left( x \right)\) chi phí mà công ty cần trả bằng tổng lương cho người lái xe và chi phí nhiên liệu khi di chuyển \(s\) dặm.
+ Xét hàm số đó và tìm tốc độ \(x\) để hàm đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn. Sử dụng các cách đã học để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(C\left( x \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) với \(x \in \left[ {10;75} \right]\), ta cần tìm \(x\) để \(C\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Ta có \(C' = 3,6\left( { - \frac{{2500}}{{{x^2}}} + 1} \right)\).
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow 3,6\left( { - \frac{{2500}}{{{x^2}}} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2500 + {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 50\) (vì \(x \in \left[ {10;75} \right]\)).
Ta có: \(C\left( {10} \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{{10}} + 10} \right) = 3,6 \cdot 260 = 936\); \(C\left( {50} \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{{50}} + 50} \right) = 3,6 \cdot 100 = 360\);
\(C\left( {75} \right) = 3,6 \cdot \left( {\frac{{2500}}{{75}} + 75} \right) = 390\). Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {10;75} \right]} C\left( x \right) = C\left( {50} \right) = 360\) hay \(x = 50\) thì \(C\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Vậy xe tải di chuyển với tốc độ \(50\) dặm/giờ thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất.
b) Giả sử \(s\)(dặm) là quãng đường di chuyển của xe. Khi đó số tiền mà công ty phải trả cho người lái xe khi di chuyển trên quãng đường này là \(28 \cdot \frac{s}{x}\) USD.
Chi phí nhiên liệu trên \(s\)(dặm) là \(\frac{s}{{200}}\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right)\) USD.
Suy ra tổng chi phí \(D\left( x \right)\) khi lái xe \(s\)(dặm) là:
\(D\left( x \right) = 28 \cdot \frac{s}{x} + \)\(\frac{s}{{200}}\left( {\frac{{2500}}{x} + x} \right) = s\left( {\frac{{81}}{{2x}} + \frac{x}{{200}}} \right)\) USD.
Ta có \(D'\left( x \right) = s\left( { - \frac{{81}}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{200}}} \right) < 0{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in \left[ {10;75} \right]\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left[ {10;75} \right]\).
Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn này khi \(x\) lớn nhất hay \(x = 75\).
Vậy xe tải di chuyển với vận tốc \(75\) dặm/giờ thì sẽ tiết kiệm chi phí nhất.
Bài 1.17 trang 15 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về giới hạn, các tính chất của giới hạn và các phương pháp tính giới hạn.
Bài tập 1.17 yêu cầu tính giới hạn của các hàm số khi x tiến tới một giá trị cụ thể. Các hàm số có thể là các hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng giác hoặc các hàm số khác.
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải chi tiết từng câu hỏi trong bài 1.17 trang 15 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức.
Ta có: lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4
Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. Ta có: lim (x→0) sin(x) / x = 1
Ta có: lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3) = lim (x→∞) (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2
Kiến thức về giới hạn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của Toán học và các ngành khoa học khác. Ví dụ, giới hạn được sử dụng để định nghĩa đạo hàm, tích phân, chuỗi và các khái niệm quan trọng khác. Ngoài ra, giới hạn còn được sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lý, kinh tế và các hiện tượng khác trong thực tế.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài 1.17 trang 15 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
| Dạng bài tập | Phương pháp giải |
|---|---|
| Giới hạn dạng vô định | Rút gọn biểu thức, sử dụng quy tắc L'Hopital |
| Giới hạn lượng giác | Sử dụng các giới hạn lượng giác cơ bản |
| Giới hạn vô cùng | Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x |
