Bài 1.20 trang 16 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 1.20 trang 16 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo (xem hình vẽ), được kéo ra khỏi vị trí đứng yên (10) cm rồi thả ra tại thời điểm ban đầu (t = 0) giây để chuyển động trong (4) giây. Vị trí (s) (cm) tại thời điểm (t) giây là (s = 10cos pi t).
Đề bài
Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo (xem hình vẽ), được kéo ra khỏi vị trí đứng yên \(10\) cm rồi thả ra tại thời điểm ban đầu \(t = 0\) giây để chuyển động trong \(4\) giây. Vị trí \(s\) (cm) tại thời điểm \(t\) giây là \(s = 10\cos \pi t\).
a) Tốc độ lớn nhất của xe là bao nhiêu? Khi nào xe chuyển động với tốc độ như vậy, khi đó xe đang ở vị trí nào và gia tốc lúc đó có độ lớn là bao nhiêu?
b) Xe ở đâu khi độ lớn gia tốc là lớn nhất? Khi đó vận tốc của xe là bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Xác định công thức vận tốc, gia tốc theo t. Tìm giá trị lớn nhất của tốc độ (lấy trị tuyệt đối vận tốc) trên đoạn bằng phương pháp đã học đồng thời tìm t. Thay các giá trị t vừa tìm được vào s để tìm được vị trí, thay vào a để tìm gia tốc. Giải thích trên thực tế xe đang ở vị trí nào khi đó.
Ý b: Tìm t để trị tuyệt đối gia tốc a lớn nhất, sau đó thay số để tìm s và v, từ đó giải thích trên thực tế vận tốc và vị trí của vật đang như thế nào.
Lời giải chi tiết
a) Vận tốc của xe là \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 10\pi \sin \pi t\) (cm/s)
Khi đó gia tốc của xe là \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 10{\pi ^2}\cos \pi t\) (cm/s2)
Ta có \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10{\pi ^2}\cos \pi t = 0 \Leftrightarrow \cos \pi t = 0 \Leftrightarrow \pi t = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} + 2k,k \in \mathbb{Z}\)
Mà \(t \in \left[ {0;4} \right]\)nên ta tính được \(t \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right\}\).
Mặt khác, \(v\left( 0 \right) = v\left( 4 \right) = 0;v\left( {\frac{1}{2}} \right) = v\left( {\frac{3}{2}} \right) = v\left( {\frac{5}{2}} \right) = v\left( {\frac{7}{2}} \right) = - 10\pi \)
Tốc độ của xe là \(\left| {v\left( t \right)} \right|\), vậy tốc độ lớn nhất của xe là \(10\pi \) cm/s đạt được tại các thời điểm \(\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}\) giây. Tại các thời điểm đó, xe đều có gia tốc bằng 0 và tại vị trí \(s = 0\) tức là ở vị trí xe đứng yên khi mà chưa kéo lò xo.
b) Ta có \(a'\left( t \right) = 10{\pi ^3}\sin \pi t\); \(a'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 10{\pi ^3}\sin \pi t = 0 \Leftrightarrow t \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\)
Khi đó \(a\left( 0 \right) = a\left( 2 \right) = a\left( 4 \right) = - 10{\pi ^2};a\left( 1 \right) = a\left( 3 \right) = 10{\pi ^2}\).
Ta có \(\left| {a\left( t \right)} \right|\) là độ lớn của gia tốc do đó nó lớn nhất tại các thời điểm \(0;1;2;3;4\) giây.
Khi \(t = 0;2;4\) giây, xe ở vị trí \(s = 10\) cm; \(t = 1;3\) giây, xe ở vị trí \(s = - 10\) cm.
Vậy độ lớn gia tốc lớn nhất tại các vị trí \(s = 10\) cm hoặc \(s = - 10\) cm. (Tức là khi xe ở mép phải hoặc mép trái của quãng đường giao động) và tại các vị trí đó, vận tốc của xe đều bằng 0
Bài 1.20 trang 16 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Bài 1.20 thường yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết của bài toán. Ví dụ minh họa, cần thay thế bằng lời giải thực tế)
Ví dụ: Giả sử bài toán yêu cầu tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Ta có: f'(x) = 3x2 - 6x.
Để tìm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Vậy hàm số có hai điểm cực trị tại x = 0 và x = 2.
Ngoài bài 1.20, còn rất nhiều bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần:
Để học tốt môn Toán 12, đặc biệt là phần đạo hàm, học sinh nên:
Bài 1.20 trang 16 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Đạo hàm | Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại một điểm. |
| Cực đại | Điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một khoảng nào đó. |
| Cực tiểu | Điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trong một khoảng nào đó. |
