Bài 2. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Bài 2. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn - Toán 12 Cánh Diều

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề về ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu đóng vai trò then chốt, không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề thực tế. Bài 2 của chuyên đề này tập trung vào việc vận dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trong các bài toán cụ thể.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để giải quyết bài toán tối ưu bằng đạo hàm, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

1. Xác định hàm số mục tiêu: Đây là hàm số mà chúng ta muốn tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
2. Xác định miền xác định của hàm số: Miền xác định là tập hợp tất cả các giá trị của biến số mà hàm số có nghĩa.
3. Tính đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của hàm số cho chúng ta biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm.
4. Tìm các điểm dừng của hàm số: Điểm dừng là các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
5. Xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: Điều này giúp chúng ta xác định các điểm cực trị của hàm số.
6. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của miền xác định: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sẽ nằm trong số các giá trị này.

II. Phân loại bài toán và phương pháp giải

Các bài toán tối ưu thường gặp có thể được phân loại như sau:

• Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: Sử dụng các bước đã nêu ở phần I.
• Bài toán tối ưu hình học: Ví dụ: tìm kích thước của một hình chữ nhật có diện tích cho trước mà chu vi nhỏ nhất.
• Bài toán tối ưu kinh tế: Ví dụ: tìm mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận.

Đối với mỗi loại bài toán, chúng ta cần linh hoạt áp dụng các kiến thức và kỹ năng đã học để tìm ra lời giải tối ưu.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 1 trên khoảng [0; 3].

Giải:

1. f'(x) = -2x + 4
2. f'(x) = 0 ⇔ x = 2
3. f(0) = 1, f(2) = 5, f(3) = 4

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [0; 3] là 5, đạt được tại x = 2.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 6x + 5 trên khoảng [1; 5].
• Bài 2: Một người nông dân muốn xây một chuồng trại hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi chuồng trại cần có kích thước như thế nào để sử dụng ít vật liệu nhất?

Lưu ý: Khi giải bài tập, hãy luôn kiểm tra lại kết quả và đảm bảo rằng lời giải của bạn là hợp lý.

V. Kết luận

Bài 2. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp các em tự tin đối mặt với các bài toán tối ưu trong các kỳ thi sắp tới và ứng dụng kiến thức vào thực tế cuộc sống.