Bài 3. Các phép biến đổi lượng giác

Bài 3. Các phép biến đổi lượng giác - SGK Toán 11: Tổng quan

Bài 3 trong SGK Toán 11 tập 1 tập trung vào việc nghiên cứu các phép biến đổi lượng giác cơ bản, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán về hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Việc nắm vững các công thức và kỹ năng biến đổi này là nền tảng để học tốt các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán học.

1. Các công thức lượng giác cơ bản

Trước khi đi vào các phép biến đổi, chúng ta cần ôn lại các công thức lượng giác cơ bản sau:

Công thức cộng và trừ góc:
- sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)
- cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)
- tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))
- cot(a ± b) = (cot(a)cot(b) ∓ 1) / (cot(a) + cot(b))
Công thức nhân đôi:
- sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
- cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 = 1 - 2sin²(a)
- tan(2a) = (2tan(a)) / (1 - tan²(a))
- cot(2a) = (cot²(a) - 1) / (2cot(a))
Công thức hạ bậc:
- sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2
- cos²(a) = (1 + cos(2a)) / 2
- tan²(a) = (1 - cos(2a)) / (1 + cos(2a))
- cot²(a) = (1 + cos(2a)) / (1 - cos(2a))

2. Các phép biến đổi lượng giác thường gặp

Dưới đây là một số phép biến đổi lượng giác thường gặp và cách áp dụng:

2.1. Biến đổi tổng thành tích

Các công thức biến đổi tổng thành tích:

sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
sin(a) - sin(b) = 2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

Ví dụ: Biến đổi sin(5x) + sin(x) thành tích. Áp dụng công thức sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) với a = 5x và b = x, ta được:

sin(5x) + sin(x) = 2sin((5x+x)/2)cos((5x-x)/2) = 2sin(3x)cos(2x)

2.2. Biến đổi tích thành tổng

Các công thức biến đổi tích thành tổng:

sin(a)cos(b) = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)]
cos(a)cos(b) = 1/2 [cos(a+b) + cos(a-b)]
sin(a)sin(b) = 1/2 [cos(a-b) - cos(a+b)]

Ví dụ: Biến đổi sin(2x)cos(x) thành tổng. Áp dụng công thức sin(a)cos(b) = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)] với a = 2x và b = x, ta được:

sin(2x)cos(x) = 1/2 [sin(2x+x) + sin(2x-x)] = 1/2 [sin(3x) + sin(x)]

3. Ứng dụng của các phép biến đổi lượng giác

Các phép biến đổi lượng giác có nhiều ứng dụng trong việc giải toán, đặc biệt là:

Giải phương trình lượng giác: Biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn để tìm nghiệm.
Tính giá trị của biểu thức lượng giác: Sử dụng các công thức để tính giá trị của biểu thức một cách nhanh chóng và chính xác.
Chứng minh đẳng thức lượng giác: Biến đổi vế trái về vế phải (hoặc ngược lại) để chứng minh đẳng thức.
Đơn giản hóa biểu thức lượng giác: Rút gọn biểu thức về dạng đơn giản nhất.