Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 18, 19 SGK Toán 11 tập 1 tại giaitoan.edu.vn. Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Bài học này tập trung vào các khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là các kiến thức liên quan đến hàm số và đồ thị hàm số. Hãy cùng chúng tôi khám phá và chinh phục những bài toán thú vị này nhé!
Từ các công thức cộng, hãy tính: a) (cos left( {a - b} right) + cos left( {a + b} right)) theo (cos a) và (cos b).
Từ các công thức cộng, hãy tính:
a) \(\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\) theo \(\cos a\) và \(\cos b\).
b) \(\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)\) theo \(\sin a\) và \(\sin b\).
c) \(\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)\) theo \(\sin a\) và \(\cos b\).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức cộng vào các công thức trên.
Lời giải chi tiết:
a) \(\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b + \cos a\cos b - \sin a\sin b = 2\cos a\cos b\)
b) \(\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b - \cos a\cos b + \sin a\sin b = 2\sin a\sin b\)
c) \(\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b + \sin a\cos b + \cos a\sin b = 2\sin a\cos b\)
Không dùng máy tính cầm tay, tính \(\sin \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{17\pi }}{{12}}\).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
\[\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\]
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{17\pi }}{{12}} = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{12}} - \frac{{17\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{17\pi }}{{12}}} \right)}}{2} = \frac{{\sin \left( { - \frac{{4\pi }}{3}} \right) + \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{2}\\ = \frac{{ - \frac{1}{2} - 1}}{2} = - \frac{3}{4}\end{array}\)
Nếu đặt u = a – b và v = a + b trong các công thức:
\(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right];\)
\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\)
thì ta thu được các công thức nào theo u và v?
Phương pháp giải:
Thay a – b = u, a + b = v, \(a = \frac{{u + v}}{2}, - b = \frac{{u - v}}{2}\)vào công thức.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \cos a\cos \left( { - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos u + \cos v} \right)\\ \Leftrightarrow 2\cos \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \cos u + \cos v\\\sin a\cos \left( { - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin u + \sin v} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \sin u + \sin v\end{array}\)
Chứng minh \(\frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{\cos \frac{{3\pi }}{{17}} + \cos \frac{{5\pi }}{{17}}}} = - \frac{1}{2}\).
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức lượng giác.
\(\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \)
\(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}\cos \left( { - \frac{\pi }{{17}}} \right)}} = \frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}\cos \frac{\pi }{{17}}}} = \frac{{\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}}\\ = \frac{{\cos \left( {\pi - \frac{{4\pi }}{{17}}} \right)}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}} = \frac{{ - \cos \frac{{4\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}} = - \frac{1}{2}.\end{array}\)
Mục 3 trong SGK Toán 11 tập 1 thường xoay quanh các bài toán về hàm số bậc hai, bao gồm việc xác định các yếu tố của hàm số (hệ số a, b, c), tìm đỉnh của parabol, vẽ đồ thị hàm số và giải các bài toán liên quan đến ứng dụng của hàm số bậc hai trong thực tế.
Để hiểu rõ hơn về nội dung và phương pháp giải các bài tập trong mục 3 trang 18, 19, chúng ta sẽ đi qua từng bài tập cụ thể:
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định các hệ số a, b, c của hàm số bậc hai được cho dưới dạng tổng quát y = ax2 + bx + c. Để làm được bài này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của hàm số bậc hai và biết cách nhận biết các hệ số tương ứng.
Tọa độ đỉnh của parabol là một yếu tố quan trọng trong việc vẽ đồ thị hàm số bậc hai. Công thức tính tọa độ đỉnh là xđỉnh = -b/2a và yđỉnh = f(xđỉnh). Học sinh cần áp dụng công thức này một cách chính xác để tìm ra tọa độ đỉnh của parabol.
Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai, học sinh cần xác định các yếu tố quan trọng như hệ số a, tọa độ đỉnh, trục đối xứng và các điểm đặc biệt (giao điểm với trục hoành, trục tung). Sau đó, học sinh có thể vẽ đồ thị hàm số bằng cách sử dụng các điểm đã xác định.
Các bài toán ứng dụng thường yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về hàm số bậc hai để giải quyết các vấn đề thực tế. Ví dụ, bài toán tìm chiều dài tối đa của một hình chữ nhật có diện tích cho trước. Để giải các bài toán này, học sinh cần phân tích đề bài, xây dựng phương trình hàm số bậc hai và giải phương trình đó.
Để giải các bài tập trong mục 3 trang 18, 19 SGK Toán 11 tập 1 một cách hiệu quả, học sinh cần:
Ví dụ: Cho hàm số y = 2x2 - 4x + 1. Hãy tìm tọa độ đỉnh của parabol.
Giải:
Hệ số a = 2, b = -4, c = 1.
Tọa độ đỉnh của parabol là:
xđỉnh = -b/2a = -(-4)/(2*2) = 1
yđỉnh = 2*(1)2 - 4*(1) + 1 = -1
Vậy tọa độ đỉnh của parabol là (1, -1).
Khi giải các bài tập về hàm số bậc hai, học sinh cần chú ý đến các trường hợp đặc biệt như:
Hy vọng rằng với bài giải chi tiết và phương pháp tiếp cận hiệu quả này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong mục 3 trang 18, 19 SGK Toán 11 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
