Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng về phép biến hóa lượng giác. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các công thức lượng giác cơ bản để chứng minh các đẳng thức và giải các bài toán liên quan.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
a) \({\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = \cos 2\alpha ;\)
b) \(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a;\)
c) \(\frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}} = \tan a.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi vế trái (thường là vế phức tạp hơn) thành vế phải (thường là vế đơn giản hơn).
Áp dụng công thức nhân đôi, công thức biến tích thành tổng.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2}\\ = \left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right)\\ = \cos 2\alpha .1 = \cos 2\alpha \end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b - a + b} \right) - \cos \left( {a + b + a - b} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos 2b - \cos 2a} \right) = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}b - 1 - 2{{\cos }^2}a + 1} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}b - 2{{\cos }^2}a} \right) = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\end{array}\)
c)
\(\begin{array}{l}\frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}} = \frac{{\sin a + 2\sin a\cos a}}{{1 + \cos a + 2{{\cos }^2}a - 1}}\\ = \frac{{\sin a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}{{\cos a + 2{{\cos }^2}a}} = \frac{{\sin a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}{{\cos a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}\\ = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \tan a\end{array}\)
Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta chứng minh các đẳng thức lượng giác. Để giải bài tập này hiệu quả, cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và kỹ năng biến đổi đại số.
Chứng minh các đẳng thức sau:
Chứng minh đẳng thức 1: sin2x + cos2x = 1
Đây là một trong những đẳng thức lượng giác cơ bản nhất, thường được chứng minh bằng cách sử dụng đường tròn lượng giác. Trên đường tròn lượng giác đơn vị, sin x là tung độ của điểm M trên đường tròn, còn cos x là hoành độ của điểm M. Theo định lý Pitago, ta có OM2 = sin2x + cos2x = 1.
Chứng minh đẳng thức 2: tan x = sin x / cos x
Theo định nghĩa, tan x là tỷ số giữa sin x và cos x, tức là tan x = sin x / cos x. Đẳng thức này đúng với mọi x sao cho cos x ≠ 0.
Chứng minh đẳng thức 3: cot x = cos x / sin x
Theo định nghĩa, cot x là tỷ số giữa cos x và sin x, tức là cot x = cos x / sin x. Đẳng thức này đúng với mọi x sao cho sin x ≠ 0.
Chứng minh đẳng thức 4: 1 + tan2x = 1/cos2x
Ta có: 1 + tan2x = 1 + (sin x / cos x)2 = 1 + sin2x / cos2x = (cos2x + sin2x) / cos2x = 1 / cos2x.
Chứng minh đẳng thức 5: 1 + cot2x = 1/sin2x
Ta có: 1 + cot2x = 1 + (cos x / sin x)2 = 1 + cos2x / sin2x = (sin2x + cos2x) / sin2x = 1 / sin2x.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể giải thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc áp dụng các công thức lượng giác và kỹ năng biến đổi đại số để giải quyết các bài toán.
Các đẳng thức lượng giác này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của Toán học và Vật lý, như giải phương trình lượng giác, tính góc, và phân tích các hiện tượng sóng.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn này, bạn đã hiểu rõ cách giải Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1. Chúc bạn học tập tốt!
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| sin2x + cos2x = 1 | Đẳng thức lượng giác cơ bản |
| tan x = sin x / cos x | Định nghĩa hàm tan |
| cot x = cos x / sin x | Định nghĩa hàm cot |
