Bài 3. Đạo hàm cấp hai

Bài 3. Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một của một hàm số. Nó cung cấp thông tin về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hình dạng và tính chất của đồ thị hàm số.

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x). Nếu f'(x) có đạo hàm, đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x) hoặc y''.

Công thức tính đạo hàm cấp hai:

f''(x) = (f'(x))'

2. Quy tắc tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một f'(x).
Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học (quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp,...) để tính đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x³ + 2x² - 5x + 1.

Giải:

Đạo hàm cấp một: y' = 3x² + 4x - 5
Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x + 4

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x).

Giải:

Đạo hàm cấp một: y' = 2cos(2x)
Đạo hàm cấp hai: y'' = -4sin(2x)

4. Ứng dụng của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số: Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó. Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
Tìm điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại. Tại điểm uốn, đạo hàm cấp hai bằng 0 hoặc không tồn tại.
Giải các bài toán vật lý: Đạo hàm cấp hai được sử dụng để mô tả gia tốc trong chuyển động.