Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình Toán 11 Cánh Diều, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đạo hàm. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm và áp dụng chúng một cách linh hoạt.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2, giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
Đề bài
Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
a) \(y = 3{x^2} - 4x + 5\) tại điểm \({x_0} = - 2\).
b) \(y = {\log _3}(2x + 1)\) tại điểm \({x_0} = 3\).
c) \(y = {e^{4x + 3}}\) tại điểm \({x_0} = 1\).
d) \(y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{6}\).
e) \(y = \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\) tại điểm \({x_0} = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm đạo hàm cấp hai của từng hàm số rồi thay giá trị vào.
Lời giải chi tiết
a) \(y' = 6x - 4 \Rightarrow y'' = 6\).
Tại \({x_0} = - 2 \Rightarrow y''( - 2) = 6\).
b)
\(y' = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}} \Rightarrow y'' = \left( {2.\frac{1}{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}}} \right)' = - 2.\frac{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)'}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}}\)
\(= - 2\frac{{2\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}}\).
Tại \({x_0} = 3 \Rightarrow y''(3) = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2.3 + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {7\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{49\ln 3}}\).
c) \(y' = 4{e^{4x + 3}} \Rightarrow y'' = 16{e^{4x + 3}}\).
Tại \({x_0} = 1 \Rightarrow y''(1) = 16.{e^{4.1 + 3}} = 16.{e^7}\).
d)\(y' = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \Rightarrow y'' = - 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Tại \({x_0} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow y''\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 2\sqrt 3 \).
e) \(y' = - 3.\sin \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow y'' = - 9.\cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Tại \({x_0} = 0 \Rightarrow y''(0) = - 9.\cos \left( {3.0 - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 9\sqrt 3 }}{2}\).
Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm của hàm số trên một khoảng, và các quy tắc tính đạo hàm như quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, và quy tắc chuỗi.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, học sinh cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Điều này bao gồm việc xác định hàm số cần tìm đạo hàm, khoảng hoặc điểm cần tính đạo hàm, và các điều kiện ràng buộc khác.
Sau khi đã hiểu rõ yêu cầu của bài toán, học sinh có thể áp dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số. Cần lưu ý rằng, khi áp dụng các quy tắc tính đạo hàm, học sinh cần phải đảm bảo rằng các điều kiện để áp dụng quy tắc đó được thỏa mãn.
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều, chúng ta sẽ cùng xem xét một ví dụ minh họa cụ thể. Giả sử, đề bài yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x - 1 tại điểm x = 1.
f'(x) = 2x + 2 - 0 = 2x + 2
f'(1) = 2(1) + 2 = 4
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x - 1 tại điểm x = 1 là 4.
Ngoài ví dụ trên, Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều còn có nhiều dạng bài tập tương tự khác. Để giải quyết các dạng bài tập này, học sinh cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và áp dụng chúng một cách linh hoạt. Một số phương pháp giải thường được sử dụng bao gồm:
Để nắm vững kiến thức về đạo hàm và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, học sinh cần luyện tập thường xuyên. Có rất nhiều bài tập tương tự Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều có thể tìm thấy trong sách giáo khoa, sách bài tập, và trên các trang web học toán trực tuyến.
Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Bằng cách nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và áp dụng chúng một cách linh hoạt, học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu trên đây, học sinh đã hiểu rõ hơn về cách giải Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều. Chúc các em học tập tốt!
