Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp chúng ta phác thảo chính xác hơn hình dạng của đồ thị và dự đoán hành vi của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc một giá trị cụ thể.

I. Khái Niệm Đường Tiệm Cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

• Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
• Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
• Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] = 0.

II. Phương Pháp Tìm Đường Tiệm Cận

Để tìm đường tiệm cận, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm tiệm cận đứng: Xác định các giá trị của x làm mẫu số của hàm số bằng 0 và kiểm tra giới hạn của hàm số tại các giá trị đó.
2. Tìm tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và âm vô cùng.
3. Tìm tiệm cận xiên: Tính a = lim_x→∞ f(x)/x và b = lim_x→∞ [f(x) - ax]. Nếu a ≠ 0, thì y = ax + b là tiệm cận xiên.

III. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (2x + 1) / (x - 3).

• Tiệm cận đứng: x = 3 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 3).
• Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 3) = 2).
• Tiệm cận xiên: Không có (vì không có giới hạn a khác 0).

Ví dụ 2: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = x² + 1 / x.

• Tiệm cận đứng: x = 0 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 0).
• Tiệm cận ngang: Không có (vì lim_x→∞ (x² + 1) / x = ∞).
• Tiệm cận xiên: y = x (vì a = lim_x→∞ (x² + 1) / x² = 1 và b = lim_x→∞ [(x² + 1) / x - x] = 0).

IV. Luyện Tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau trong SGK Toán 12 tập 1:

• Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

V. Kết Luận

Bài học về đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và phương pháp tìm đường tiệm cận. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số một cách hiệu quả hơn. Chúc các em học tốt!