Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

I. Khái niệm cơ bản

Trong không gian, một trong những nội dung quan trọng của hình học là việc xác định và tính toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như góc nhị diện. Để hiểu rõ các khái niệm này, chúng ta cần nắm vững định nghĩa và các tính chất liên quan.

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Để tính góc này, ta thường sử dụng công thức: sin α = d(A, (P)) / AD, trong đó α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, d(A, (P)) là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), và AD là độ dài đoạn thẳng nối điểm A với hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P).

2. Góc nhị diện:

Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Để đo góc nhị diện, ta thường sử dụng góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai nửa mặt phẳng đó. Góc nhị diện có giá trị từ 0° đến 180°.

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định các yếu tố quan trọng: Xác định đường thẳng, mặt phẳng, giao tuyến, hình chiếu, và các điểm cần thiết.
Áp dụng định nghĩa và công thức: Sử dụng các định nghĩa và công thức liên quan để tính toán góc.
Sử dụng các tính chất hình học: Vận dụng các tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng song song, và các tính chất khác để đơn giản hóa bài toán.
Kiểm tra kết quả: Đảm bảo kết quả tính toán hợp lý và phù hợp với điều kiện của bài toán.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD). Vì SA vuông góc với (ABCD) nên H trùng với A. Do đó, SC tạo với (ABCD) một góc SCA. Trong tam giác vuông SAC, ta có tan SCA = SA/AC = a/a√2 = 1/√2. Vậy SCA ≈ 35.26°.

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo đường thẳng d. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B sao cho AB = a và góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 60°. Tính khoảng cách từ A đến (Q).

Giải:

Gọi AH là đường vuông góc từ A đến (Q). Khi đó, góc BAH là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), nên BAH = 60°. Trong tam giác vuông ABH, ta có AH = AB * sin BAH = a * sin 60° = a√3/2.

IV. Bài tập luyện tập

Bài 1: Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) trong hình chóp S.ABCD như ví dụ 1.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Tính góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (A'B'C'D').

Kết luận:

Bài 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững các khái niệm, công thức và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!