Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài tập 27 trang 99 sách bài tập Toán 11 chương trình Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, tự tin hơn trong các bài kiểm tra.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của giaitoan.edu.vn đã biên soạn lời giải bài tập 27 trang 99 một cách cẩn thận, đảm bảo tính chính xác và dễ tiếp thu.
Cho hình chóp (S.ABC) có (SA bot left( {ABC} right)), (AB bot BC)
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB \bot BC\), \(SA = AB = 3a\), \(BC = 4a\). Gọi \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \) lần lượt là số đo của các góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\), \(\left[ {A,BC,S} \right]\), \(\left[ {A,SC,B} \right]\). Tính
a) \(\cos \alpha \), \(\cos \beta \).
b*) \(\cos \gamma \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Xác định góc phẳng nhị diện của các góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\), \(\left[ {A,BC,S} \right]\) và tính cos của chúng.
b) Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\) và \(SC\). Chứng minh rằng \(\widehat {AKH}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\), và tính cos của nó.
Lời giải chi tiết
a) Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên ta suy ra \(SA \bot AB\), \(SA \bot AC\) và \(SA \bot BC\). Suy ra \(\widehat {BAC}\) chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\), tức là \(\alpha = \widehat {BAC}\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = 5a\).
Như vậy \(\cos \alpha = \cos \widehat {BAC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{5a}} = \frac{3}{5}\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), ta cũng suy ra \(BC \bot AB\). Do \(SA \bot BC\) nên ta suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Điều này dẫn tới \(BC \bot SB\).
Vì \(BC \bot SB\), \(BC \bot AB\) nên góc \(\widehat {SBA}\) chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\), tức là \(\beta = \widehat {SBA}\).
Tam giác \(SBA\) vuông tại \(A\), nên \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 a\).
Như vậy \(\cos \beta = \cos \widehat {SBA} = \frac{{AB}}{{SB}} = \frac{{3a}}{{3\sqrt 2 a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
b) Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\) và \(SC\).
Theo câu a, ta có \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AH\). Mà ta có \(AH \bot SB\) nên suy ra \(AH \bot \left( {BSC} \right)\), điều này dẫn tới \(AH \bot SC\).
Do \(AH \bot SC\), \(AK \bot SC\) nên \(SC \bot \left( {AHK} \right)\), suy ra \(HK \bot SC\).
Như vậy ta có \(AK \bot SC\), \(HK \bot SC\) nên \(\widehat {AKH}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,SC,H} \right]\). Do \(H \in \left( {SCB} \right)\) nên góc nhị diện \(\left[ {A,SC,H} \right]\) cũng chính là góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\). Do đó, \(\widehat {AKH}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,SC,B} \right]\), tức là \(\gamma = \widehat {AKH}\).
Vì \(AH \bot \left( {BSC} \right)\) nên \(AH \bot HK\), do đó \(\cos \widehat {AKH} = \frac{{HK}}{{AK}}\).
Ta có \(AH = \frac{{SA.AB}}{{SB}} = \frac{{3a.3a}}{{3\sqrt 2 a}} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\) (do \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\))
Và \(AK = \frac{{SA.AC}}{{SC}} = \frac{{3a.5a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {5a} \right)}^2}} }} = \frac{{15{a^2}}}{{a\sqrt {34} }} = \frac{{15\sqrt {34} a}}{{34}}\) (do \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\))
Suy ra \(HK = \sqrt {A{K^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{15a\sqrt {34} }}{{34}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{6a\sqrt {17} }}{{17}}\).
Do đó, \(\cos \gamma = \cos \widehat {AKH} = \frac{{HK}}{{AK}} = \frac{{\frac{{6a\sqrt {17} }}{{17}}}}{{\frac{{15a\sqrt {34} }}{{34}}}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}\).
Bài 27 trang 99 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đồ thị hàm số lượng giác, tính chất của hàm số, và các phép biến đổi đồ thị để giải quyết các bài toán cụ thể.
Bài tập 27 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 27 trang 99, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết lời giải cho từng câu hỏi. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc phân tích đề bài, xác định các kiến thức cần sử dụng, và sau đó đưa ra các bước giải cụ thể.
Để xác định tập xác định của hàm số y = tan(2x + π/3), ta cần tìm các giá trị của x sao cho 2x + π/3 ≠ π/2 + kπ, với k là số nguyên. Giải phương trình này, ta được:
2x ≠ π/2 + kπ - π/3
2x ≠ π/6 + kπ
x ≠ π/12 + kπ/2
Vậy, tập xác định của hàm số là D = {x | x ≠ π/12 + kπ/2, k ∈ Z}.
Để vẽ đồ thị hàm số y = 2sin(x - π/4), ta thực hiện các bước sau:
Khi giải bài tập về hàm số lượng giác, bạn cần lưu ý những điều sau:
Để học tốt môn Toán 11, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải bài tập 27 trang 99 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
