Bài 3. Hàm số liên tục

Bài 3. Hàm số liên tục - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 3 trong chương trình Toán 11 tập 1, sách Chân trời sáng tạo, tập trung vào khái niệm hàm số liên tục, một trong những khái niệm nền tảng của giải tích. Hiểu rõ về hàm số liên tục là bước đệm quan trọng để học các kiến thức nâng cao hơn về đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng.

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

1. Hàm số f(x) xác định tại x₀, tức là f(x₀) có nghĩa.
2. Tồn tại giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀, ký hiệu là lim_x→x0 f(x).
3. Giá trị của hàm số tại x₀ bằng giới hạn của nó tại x₀, tức là f(x₀) = lim_x→x0 f(x).

2. Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

3. Các hàm số liên tục thường gặp

• Hàm đa thức là hàm liên tục trên R.
• Hàm phân thức là hàm liên tục trên tập xác định của nó.
• Hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot) là hàm liên tục trên tập xác định của nó.
• Hàm căn thức là hàm liên tục trên tập xác định của nó.

4. Các tính chất của hàm số liên tục

Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục tại x₀ thì:

• Hàm số f(x) + g(x) liên tục tại x₀.
• Hàm số f(x) - g(x) liên tục tại x₀.
• Hàm số f(x) * g(x) liên tục tại x₀.
• Hàm số f(x) / g(x) liên tục tại x₀ (với g(x₀) ≠ 0).

5. Ứng dụng của hàm số liên tục

Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Trong vật lý: mô tả sự biến đổi liên tục của các đại lượng vật lý.
• Trong kinh tế: mô tả sự thay đổi liên tục của các yếu tố kinh tế.
• Trong kỹ thuật: mô tả sự hoạt động liên tục của các hệ thống kỹ thuật.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x² + 1. Chứng minh hàm số này liên tục tại x = 2.

Giải:

• f(2) = 2² + 1 = 5.
• lim_x→2 f(x) = lim_x→2 (x² + 1) = 2² + 1 = 5.
• Vì f(2) = lim_x→2 f(x) = 5, nên hàm số f(x) = x² + 1 liên tục tại x = 2.

Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này liên tục trên khoảng nào?

Giải:

Hàm số f(x) = 1/x xác định trên khoảng (-∞, 0) và (0, +∞). Vì hàm phân thức liên tục trên tập xác định của nó, nên hàm số f(x) = 1/x liên tục trên các khoảng (-∞, 0) và (0, +∞).

7. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hàm số liên tục, các em nên làm thêm nhiều bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ định nghĩa, các tính chất và ứng dụng của hàm số liên tục.

Chúc các em học tập tốt!