Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 1 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Xét tính liên tục của hàm số:
Đề bài
Xét tính liên tục của hàm số:
a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{khi\,\,x \ge 0}\\{1 - x}&{khi\,\,x < 0}\end{array}} \right.\) tại điểm \(x = 0\).
b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2}&{khi\,\,x \ge 1}\\x&{khi\,\,x < 1}\end{array}} \right.\) tại điểm \(x = 1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\).
Bước 1: Kiểm tra \({x_0}\) thuộc tập xác định không. Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\).
Bước 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) (nếu có).
Bước 3: Kết luận:
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) thì hàm số liên tục tại điểm \({x_0}\).
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\) hoặc không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) thì hàm số không liên tục tại điểm \({x_0}\).
Lời giải chi tiết
a) Dễ thấy x = 0 thuộc tập xác định của hàm số.
\(f\left( 0 \right) = {0^2} + 1 = 1\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {0^2} + 1 = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {1 - x} \right) = 1 - 0 = 1\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1 = f\left( 0 \right)\).
Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\).
b)Dễ thấy x = 1 thuộc tập xác định của hàm số.
\(f\left( 1 \right) = {1^2} + 2 = 3\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = {1^2} + 2 = 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số không liên tục tại điểm \(x = 1\).
Bài 1 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về hàm số, bao gồm tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, cực trị và đồ thị hàm số.
Bài 1 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa. Trong trường hợp này, chúng ta cần xác định các giá trị của x sao cho mẫu số khác 0 và biểu thức dưới dấu căn bậc chẵn không âm.
Đạo hàm của hàm số là tốc độ thay đổi của hàm số theo biến x. Để tìm đạo hàm, chúng ta sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản, bao gồm quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp.
Điểm cực trị của hàm số là các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Để xác định các điểm cực trị, chúng ta giải phương trình đạo hàm bằng 0 và kiểm tra dấu của đạo hàm xung quanh các nghiệm.
Đồ thị hàm số là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn phương trình y = f(x). Để vẽ đồ thị hàm số, chúng ta có thể sử dụng các điểm cực trị, giao điểm với các trục tọa độ và các điểm đặc biệt khác.
Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số, bao gồm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến, giới hạn và cực trị.
Giả sử hàm số được cho là y = x^3 - 3x^2 + 2x. Chúng ta sẽ thực hiện các bước trên để giải bài tập này.
Bước 1: Xác định tập xác định
Tập xác định của hàm số là R (tập hợp tất cả các số thực).
Bước 2: Tìm đạo hàm
y' = 3x^2 - 6x + 2
Bước 3: Xác định các điểm cực trị
Giải phương trình y' = 0, ta được x = (3 ± √3)/3. Vậy hàm số có hai điểm cực trị tại x = (3 + √3)/3 và x = (3 - √3)/3.
Bước 4: Vẽ đồ thị hàm số
(Phần này cần hình ảnh đồ thị, không thể hiển thị ở đây)
Bước 5: Nghiên cứu sự biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, (3 - √3)/3) và ((3 + √3)/3, +∞). Hàm số nghịch biến trên khoảng ((3 - √3)/3, (3 + √3)/3).
Khi giải bài tập về hàm số và đồ thị hàm số, học sinh cần chú ý các điểm sau:
Bài 1 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải bài toán về hàm số và đồ thị hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ giải bài tập này một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt.
