Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 82 sách giáo khoa Toán 11 tập 1, chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và giúp bạn nắm vững kiến thức Toán học một cách hiệu quả.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\k&{khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\k&{khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\).
a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) và so sánh giá trị này với \(f\left( 2 \right)\).
c) Với giá trị nào của \(k\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\)?
Phương pháp giải:
a) Bước 1: Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\).
Bước 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) (nếu có).
Bước 3: Kết luận:
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) thì hàm số liên tục tại điểm \({x_0}\).
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\) hoặc không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) thì hàm số không liên tục tại điểm \({x_0}\).
b) Áp dụng các công thức tính giới hạn của hàm số.
c) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) và giải phương trình \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\).
Lời giải chi tiết:
a) Với mọi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\), ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = {x_0} + 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mỗi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3\).
\(f\left( 2 \right) = 2 + 1 = 3\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k \Leftrightarrow 2 = k \Leftrightarrow k = 2\)
Vậy với \(k = 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\).
Xét tính liên tục của hàm số \(y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} \) trên \(\left[ {1;2} \right]\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
Bước 2: Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right)\) và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right)\) với \(f\left( a \right)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right)\) với \(f\left( b \right)\).
Bước 3: Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} \)
Với mọi \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\), ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 1} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2 - x} \\ & \,\,\,\,\, = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x} = \sqrt {{x_0} - 1} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right)\\ & = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x} = \sqrt {1 - 1} + \sqrt {2 - 1} = 1 = f\left( 1 \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right)\\ & = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x} = \sqrt {2 - 1} + \sqrt {2 - 2} = 1 = f\left( 2 \right)\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).
Tại một xưởng sản xuất bột đã thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của \(x\) (kg) bột đã thạch anh được tính theo công thức sau:
\(P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.\) (\(k\) là một hãng số).
a) Với \(k = 0\), xét tính liên tục của hàm số \(P\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Với giá trị nào của \(k\) thì hàm số \(P\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
Phương pháp giải:
a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\) và điểm \({x_0} = 400\), từ đó đưa ra kết luận.
b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\).
Bước 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)\) và \(P\left( {400} \right)\).
Bước 3: Giải phương trình \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right) = P\left( {400} \right)\) để tìm \(k\).
a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\) và điểm \({x_0} = 400\), từ đó đưa ra kết luận.
b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\).
Bước 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)\) và \(P\left( {400} \right)\).
Bước 3: Giải phương trình \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right) = P\left( {400} \right)\) để tìm \(k\).
Lời giải chi tiết:
a) Với \(k = 0\), hàm số có dạng \(P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.\)
• Với mọi \({x_0} \in \left( {0;400} \right)\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4,5x} \right) = 4,5\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4,5{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right)\).
• Với mọi \({x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\).
• \(f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x = 4.400 = 1600\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x = 4,5.400 = 1800\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} {\rm{ }}P\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)\).
Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 400\).
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Xét hàm số \(P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.\) (\(k\) là một hãng số)
Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( {0;400} \right)\) và \(\left( {400; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x + k} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} k = 4.400 + k = 1600 + k\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x = 4,5.400 = 1800\).
Để hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì hàm số \(y = P\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 400\).
Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 400\) thì:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = f\left( {400} \right) \Leftrightarrow 1600 + k = 1800 \Leftrightarrow k = 200\)
Vậy với \(k = 200\) thì hàm số \(P\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Mục 2 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về hàm số bậc hai đã học để giải quyết các bài toán thực tế. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh xác định các yếu tố của hàm số, tìm tập xác định, tập giá trị, và vẽ đồ thị hàm số. Đồng thời, học sinh cũng cần rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến ứng dụng của hàm số bậc hai trong các lĩnh vực khác nhau.
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về nội dung và phương pháp giải các bài tập trong mục 2 trang 82, chúng ta sẽ đi vào phân tích chi tiết từng bài tập:
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định các hệ số a, b, c của hàm số bậc hai được cho dưới dạng tổng quát y = ax2 + bx + c. Để làm được bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của hàm số bậc hai và biết cách nhận biết các hệ số a, b, c.
Bài tập này yêu cầu học sinh tìm tập xác định của hàm số bậc hai. Tập xác định của hàm số bậc hai là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức ax2 + bx + c có nghĩa. Trong trường hợp hàm số bậc hai, tập xác định thường là tập số thực R.
Bài tập này yêu cầu học sinh tìm tập giá trị của hàm số bậc hai. Tập giá trị của hàm số bậc hai là tập hợp tất cả các giá trị của y mà hàm số có thể đạt được. Để tìm tập giá trị, học sinh cần xác định đỉnh của parabol và xét dấu của hệ số a.
Bài tập này yêu cầu học sinh vẽ đồ thị của hàm số bậc hai. Để vẽ đồ thị, học sinh cần xác định các yếu tố quan trọng như đỉnh, trục đối xứng, giao điểm với trục hoành và trục tung. Sau đó, học sinh có thể vẽ đồ thị bằng cách sử dụng các điểm đã xác định.
Để giải các bài tập về hàm số bậc hai một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:
Ví dụ: Xét hàm số y = 2x2 - 4x + 1. Hãy xác định các hệ số a, b, c và vẽ đồ thị hàm số.
Giải:
Để học tốt môn Toán, đặc biệt là phần hàm số bậc hai, các em học sinh cần:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em học sinh những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!
