Bài 3. Phương trình mặt cầu

Bài 3. Phương trình mặt cầu - SBT Toán 12 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 3 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc xây dựng và phân tích phương trình mặt cầu trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về hình học không gian và các ứng dụng của nó.

I. Lý thuyết cơ bản về phương trình mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (tâm của mặt cầu) một khoảng cách không đổi (bán kính). Phương trình mặt cầu có dạng:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Trong đó:

• (a, b, c) là tọa độ tâm của mặt cầu
• R là bán kính của mặt cầu

II. Các dạng bài tập thường gặp

1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu khi cho phương trình: Bài tập này yêu cầu học sinh nhận biết các hệ số trong phương trình để xác định tọa độ tâm và bán kính.
2. Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính: Học sinh cần thay các giá trị đã cho vào phương trình tổng quát để tìm ra phương trình cụ thể của mặt cầu.
3. Xác định xem một điểm có nằm trên mặt cầu hay không: Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu. Nếu phương trình thỏa mãn, điểm đó nằm trên mặt cầu.
4. Tìm giao điểm của mặt cầu và đường thẳng: Bài tập này đòi hỏi học sinh phải giải hệ phương trình để tìm ra tọa độ giao điểm.
5. Tìm giao tuyến của hai mặt cầu: Tương tự như tìm giao điểm của mặt cầu và đường thẳng, học sinh cần giải hệ phương trình để tìm ra phương trình giao tuyến.

III. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về phương trình mặt cầu, học sinh cần nắm vững các kiến thức lý thuyết cơ bản và áp dụng linh hoạt các phương pháp sau:

• Phân tích phương trình: Nhận biết các hệ số và xác định tâm, bán kính của mặt cầu.
• Sử dụng công thức: Áp dụng các công thức liên quan đến khoảng cách, giao điểm, giao tuyến.
• Giải hệ phương trình: Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình để tìm ra tọa độ giao điểm, giao tuyến.
• Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo rằng kết quả tìm được thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 2)² + (y + 1)² + (z - 3)² = 9

Giải:

Tâm của mặt cầu là I(2, -1, 3)

Bán kính của mặt cầu là R = √9 = 3

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1, 0, -2) và bán kính R = 5

Giải:

Phương trình mặt cầu là (x - 1)² + (y - 0)² + (z + 2)² = 25

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x + 3)² + (y - 2)² + (z - 1)² = 16
• Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-1, 2, 0) và bán kính R = 4
• Bài 3: Xác định xem điểm A(1, 2, 3) có nằm trên mặt cầu (x - 2)² + (y - 1)² + (z + 1)² = 4 hay không

VI. Kết luận

Bài 3. Phương trình mặt cầu là một phần quan trọng trong chương trình học Toán 12. Việc nắm vững kiến thức lý thuyết và phương pháp giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn khi làm bài kiểm tra và áp dụng vào các bài toán thực tế. Chúc bạn học tốt!