Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SGK Toán 12: Tổng quan

Bài 3 trong chương trình Toán 12 tập 2, chương 4, tập trung vào việc khai thác sức mạnh của tích phân để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học. Nội dung chính xoay quanh hai ứng dụng quan trọng: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và tính thể tích của các vật tròn xoay.

I. Tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:

S = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

• f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]
• ∫_a^b |f(x)| dx là tích phân xác định của giá trị tuyệt đối của f(x) từ a đến b.

Nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b] thì S = ∫_a^b f(x) dx. Ngược lại, nếu f(x) ≤ 0 trên [a, b] thì S = -∫_a^b f(x) dx.

Ví dụ minh họa:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Giải:

Vì x² ≥ 0 trên đoạn [-1, 2] nên diện tích hình phẳng là:

S = ∫_-1² x² dx = [x³/3]_-1² = (8/3) - (-1/3) = 3

II. Tính thể tích vật tròn xoay

Có hai phương pháp chính để tính thể tích vật tròn xoay:

1. Phương pháp đĩa tròn: Sử dụng khi vật tròn xoay được tạo ra bằng cách quay một miền phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox. Công thức: V = π∫_a^b [f(x)]² dx
2. Phương pháp vỏ trụ: Sử dụng khi vật tròn xoay được tạo ra bằng cách quay một miền phẳng giới hạn bởi x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy. Công thức: V = π∫_c^d [g(y)]² dy

Ví dụ minh họa:

Tính thể tích vật tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.

Giải:

Sử dụng phương pháp đĩa tròn, ta có:

V = π∫₀⁴ (√x)² dx = π∫₀⁴ x dx = π[x²/2]₀⁴ = π(8) = 8π

III. Các dạng bài tập thường gặp

Các bài tập về ứng dụng hình học của tích phân thường yêu cầu:

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong khác nhau (đường thẳng, parabol, đường tròn, hàm số lượng giác,...).
• Tính thể tích vật tròn xoay tạo thành khi quay các miền phẳng quanh các trục khác nhau.
• Tìm các điểm giao nhau của các đường cong để xác định giới hạn tích phân.
• Sử dụng các tính chất đối xứng để đơn giản hóa việc tính toán.

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về ứng dụng hình học của tích phân, các em cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Giaitoan.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo lời giải chi tiết và hướng dẫn giải.

V. Kết luận

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo các công thức và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới. Chúc các em học tập tốt!