Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: a) \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\). b) \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\).
Đề bài
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:
a) \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\).
b) \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành được tính bởi công thức:
\(V = \pi \int_a^b {{y^2}} {\mkern 1mu} dx.\)
Lời giải chi tiết
a) Với \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\), ta có:
- Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{(\sqrt {2 + \cos x} )}^2}} {\mkern 1mu} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 + \cos x} \right)} {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân:
\(V = \pi \left[ {\int_0^{\frac{\pi }{2}} 2 {\mkern 1mu} dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } x{\mkern 1mu} dx} \right] = \pi \left[ {\left. {2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}} \right] = \pi \left( {\pi + 1} \right) = {\pi ^2} + \pi \)
- Vậy thể tích khối tròn xoay là:
\(V = {\pi ^2} + \pi \)
b) Với \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\), ta có:
- Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_0^3 {{{({x^2} - 3x)}^2}} {\mkern 1mu} dx.\)
- Khai triển biểu thức:
\({({x^2} - 3x)^2} = {x^4} - 6{x^3} + 9{x^2}.\)
- Tính tích phân:
\(V = \pi \left[ {\int_0^3 {{x^4}} {\mkern 1mu} dx - 6\int_0^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx + 9\int_0^3 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx} \right].\)
- Các tích phân lần lượt là:
\(\int_0^3 {{x^4}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^5}}}{5} = \frac{{243}}{5},\)
\(\int_0^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} = \frac{{81}}{4},\)
\(\int_0^3 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^3}}}{3} = 9.\)
- Vậy thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \left( {\frac{{243}}{5} - 6 \times \frac{{81}}{4} + 9 \times 9} \right) = \pi \left( {\frac{{243}}{5} - \frac{{486}}{4} + 81} \right) = \frac{{81}}{{10}}\pi \).
Bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc ứng dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt là các bài toán về tối ưu hóa. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Giả sử bài tập 4.24 yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 trên đoạn [0, 3].
Ngoài bài tập 4.24, SGK Toán 12 tập 2 còn nhiều bài tập tương tự liên quan đến ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu. Các bài tập này có thể thuộc các dạng sau:
Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần áp dụng các bước tương tự như trong ví dụ minh họa trên. Tuy nhiên, cần chú ý đến việc xác định đúng hàm số cần tối ưu và tập xác định của hàm số.
Bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu. Việc nắm vững các bước giải và thực hành nhiều bài tập tương tự sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán Toán 12.
