Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.25 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 tại giaitoan.edu.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Người ta tạo ra mô hình một quả trứng ngỗng bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{30}}\sqrt {7569 - 400{x^2}} \) và trục hoành với \( - 4,35 \le x \le 4,35\) quanh trục hoành. Tính thể tích quả trứng, biết thể tích mô hình này xem như bằng thể tích quả trứng ngỗng và \(x,y\) tính theo centimét.
Đề bài
Người ta tạo ra mô hình một quả trứng ngỗng bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{30}}\sqrt {7569 - 400{x^2}} \) và trục hoành với \( - 4,35 \le x \le 4,35\) quanh trục hoành. Tính thể tích quả trứng, biết thể tích mô hình này xem như bằng thể tích quả trứng ngỗng và \(x,y\) tính theo centimét.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành:
\(V = \pi \int_a^b {{y^2}} {\mkern 1mu} dx.\)
Lời giải chi tiết
- Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_{ - 4,35}^{4,35} {{{\left( {\frac{1}{{30}}\sqrt {7569 - 400{x^2}} } \right)}^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{\pi }{{900}}\int_{ - 4,35}^{4,35} {(7569 - 400{x^2})} {\mkern 1mu} dx.\)
- Do hàm số là hàm chẵn, ta chỉ cần tính trên đoạn \([0;4,35]\) và nhân đôi kết quả:
\(V = \frac{{2\pi }}{{900}}\int_0^{4,35} {(7569 - 400{x^2})} {\mkern 1mu} dx.\)
- Tính tích phân:
\(\int {(7569 - 400{x^2})} {\mkern 1mu} dx = 7569x - \frac{{400{x^3}}}{3}.\)
- Thay cận 0 và 4,35:
\(V = \frac{{2\pi }}{{900}}\left( {7569 \times 4,35 - \frac{{400 \times 4,{{35}^3}}}{3}} \right).\)
- Thể tích cuối cùng là:
\(V \approx 153,24{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)
Vậy, thể tích của quả trứng là khoảng \(V \approx 153,24{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
Bài tập 4.25 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử bài tập 4.25 yêu cầu tìm cực trị của hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Bước 5: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.
Bước 6: Vậy hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có cực đại tại (0, 2) và cực tiểu tại (2, -2).
Ngoài bài tập 4.25, SGK Toán 12 tập 2 còn nhiều bài tập tương tự yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết. Các dạng bài tập này bao gồm:
Để giải quyết các dạng bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và đồ thị hàm số. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau cũng rất quan trọng để củng cố kiến thức và kỹ năng.
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
Hy vọng với bài giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 4.25 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
