Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ - Tổng quan

Trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong chương trình Chân trời sáng tạo, việc nắm vững kiến thức về các đường conic là vô cùng quan trọng. Các đường conic xuất hiện thường xuyên trong các bài toán hình học, vật lý và có ứng dụng thực tế rộng rãi. Bài 4 này tập trung vào việc nghiên cứu ba loại đường conic cơ bản: elip, hypebol và parabol trong mặt phẳng tọa độ.

1. Elip

Định nghĩa: Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (gọi là tiêu điểm) là một hằng số không đổi (2a, với a > 0).

Phương trình chính tắc: (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1 (với a > b > 0)

Các yếu tố của elip:

• Tiêu điểm: F1(-c, 0), F2(c, 0) với c^2 = a^2 - b^2
• Trục lớn: 2a
• Trục nhỏ: 2b
• Độ dài tiêu cự: 2c
• Tâm sai: e = c/a

2. Hypebol

Định nghĩa: Hypebol là tập hợp các điểm M sao cho trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (gọi là tiêu điểm) là một hằng số không đổi (2a, với a > 0).

Phương trình chính tắc: (x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1

Các yếu tố của hypebol:

• Tiêu điểm: F1(-c, 0), F2(c, 0) với c^2 = a^2 + b^2
• Trục thực: 2a
• Trục ảo: 2b
• Độ dài tiêu cự: 2c
• Tâm sai: e = c/a
• Tiệm cận: y = ±(b/a)x

3. Parabol

Định nghĩa: Parabol là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến một điểm cố định F (gọi là tiêu điểm) bằng khoảng cách từ M đến một đường thẳng cố định Δ (gọi là đường chuẩn).

Phương trình chính tắc: y^2 = 2px (với p > 0)

Các yếu tố của parabol:

• Tiêu điểm: F(p/2, 0)
• Đường chuẩn: x = -p/2
• Đỉnh: O(0, 0)
• Tham số tiêu: p

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Xác định các yếu tố của elip có phương trình (x^2 / 9) + (y^2 / 4) = 1

Giải:

• a^2 = 9 => a = 3
• b^2 = 4 => b = 2
• c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5 => c = √5
• Tiêu điểm: F1(-√5, 0), F2(√5, 0)
• Trục lớn: 6
• Trục nhỏ: 4
• Độ dài tiêu cự: 2√5
• Tâm sai: e = √5 / 3

Bài tập 2: Lập phương trình hypebol có tiêu điểm F1(-2, 0), F2(2, 0) và đi qua điểm M(3, 4)

Giải:

(Quá trình giải bài tập này sẽ được trình bày chi tiết với các bước thực hiện cụ thể)

5. Ứng dụng của các đường conic

Các đường conic có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Elip: Quỹ đạo của các hành tinh quanh Mặt Trời, thiết kế các vòm cầu.
• Hypebol: Định vị trong hệ thống GPS, thiết kế các thấu kính.
• Parabol: Ăng-ten parabol, đèn pha ô tô.

Kết luận

Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về các đường conic. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả và hiểu rõ hơn về ứng dụng của chúng trong thực tế. Chúc bạn học tập tốt!