Bài 4. Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4. Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11: Giải pháp chi tiết

Bài 4 trong SGK Toán 11 tập 1 tập trung vào việc nghiên cứu hàm số lượng giác và đồ thị của chúng. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, đặt nền móng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn về lượng giác sau này.

1. Định nghĩa hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác là hàm số được xác định bởi một góc và trả về một giá trị số. Các hàm số lượng giác cơ bản bao gồm:

Hàm sin (sin x): Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền trong tam giác vuông.
Hàm cosin (cos x): Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền trong tam giác vuông.
Hàm tang (tan x): Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh kề trong tam giác vuông.
Hàm cotang (cot x): Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh đối trong tam giác vuông.

Miền xác định của các hàm số lượng giác cần được xem xét cẩn thận, đặc biệt là hàm tang và cotang, vì chúng không xác định tại các giá trị làm mẫu số bằng 0.

2. Tính chất của hàm số lượng giác

Các hàm số lượng giác có những tính chất đặc trưng như tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ, và tính đơn điệu. Việc nắm vững các tính chất này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số và dự đoán được các giá trị của nó.

Tính tuần hoàn: Hàm sin và cosin có chu kỳ là 2π, hàm tang và cotang có chu kỳ là π.
Tính chẵn lẻ: Hàm cosin là hàm chẵn, các hàm sin, tang và cotang là hàm lẻ.
Tính đơn điệu: Hàm sin và cosin không đơn điệu trên toàn miền xác định, hàm tang đơn điệu tăng trên từng khoảng (kπ - π/2, kπ + π/2), hàm cotang đơn điệu giảm trên từng khoảng (kπ, kπ + π/2).

3. Đồ thị của hàm số lượng giác

Đồ thị của hàm số lượng giác là biểu diễn hình học của hàm số trên mặt phẳng tọa độ. Việc vẽ đồ thị giúp chúng ta trực quan hóa được các tính chất của hàm số và dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan.

a. Đồ thị hàm số y = sin x

Đồ thị hàm số y = sin x là một đường cong lượn sóng, có biên độ là 1 và chu kỳ là 2π. Đồ thị đi qua gốc tọa độ và đối xứng qua gốc tọa độ.

b. Đồ thị hàm số y = cos x

Đồ thị hàm số y = cos x cũng là một đường cong lượn sóng, có biên độ là 1 và chu kỳ là 2π. Đồ thị đi qua điểm (0, 1) và đối xứng qua trục Oy.

c. Đồ thị hàm số y = tan x

Đồ thị hàm số y = tan x là một đường cong có các đường tiệm cận đứng tại x = kπ + π/2 (k là số nguyên). Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

d. Đồ thị hàm số y = cot x

Đồ thị hàm số y = cot x là một đường cong có các đường tiệm cận đứng tại x = kπ (k là số nguyên). Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

4. Bài tập vận dụng

Để nắm vững kiến thức về hàm số lượng giác và đồ thị, các em cần thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

Xác định tập xác định của hàm số lượng giác.
Tìm chu kỳ, biên độ, và các điểm đặc biệt của đồ thị hàm số lượng giác.
Vẽ đồ thị hàm số lượng giác.
Giải phương trình lượng giác dựa trên đồ thị.

Việc giải bài tập không chỉ giúp các em hiểu sâu hơn về lý thuyết mà còn rèn luyện kỹ năng giải toán và tư duy logic.

5. Kết luận

Bài 4. Hàm số lượng giác và đồ thị là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức về hàm số lượng giác và đồ thị sẽ giúp các em giải quyết các bài toán lượng giác một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy dành thời gian ôn tập lý thuyết và thực hành giải nhiều bài tập để đạt kết quả tốt nhất.