Bài 1.22 trang 30 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về phép biến hóa affine để giải quyết các bài toán cụ thể. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ định nghĩa, tính chất của phép biến hóa affine và cách xác định ma trận của phép biến hóa.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 1.22 trang 30 SGK Toán 11 tập 1, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Li độ của một vật dao động điều hòa sau t (giây) kể từ thời điểm ban đầu được xác định bởi hàm số \(x = 8\cos \left( {2\pi t - \pi } \right)\) (cm). Tìm li độ của vật tại thời điểm \(t = \frac{2}{3}\) giây và li độ nhỏ nhất của vật.
Đề bài
Li độ của một vật dao động điều hòa sau t (giây) kể từ thời điểm ban đầu được xác định bởi hàm số \(x = 8\cos \left( {2\pi t - \pi } \right)\) (cm). Tìm li độ của vật tại thời điểm \(t = \frac{2}{3}\) giây và li độ nhỏ nhất của vật.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thay \(t = \frac{2}{3}\) vào hàm số để tìm được li độ tại thời điểm \(t = \frac{2}{3}\) giây.
Li độ nhỏ nhất khi \(\cos \left( {2\pi t - \pi } \right)\) nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Thay \(t = \frac{2}{3}\) vào hàm số, ta có: \(x = 8\cos \left( {2\pi .\frac{2}{3} - \pi } \right) = 4\)
Vậy li độ của vật tại thời điểm \(t = \frac{2}{3}\) giây là 4 cm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \left( {2\pi t - \pi } \right) \ge - 1\forall t\\ \Leftrightarrow 8\cos \left( {2\pi t - \pi } \right) \ge - 8\forall t\end{array}\)
Vậy li độ nhỏ nhất bằng -8 cm.
Bài 1.22 trang 30 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu học sinh xác định một phép biến hóa affine f biết f(1; 2) = (3; 5) và f(0; 1) = (1; 3). Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ bản chất của phép biến hóa affine và cách biểu diễn nó dưới dạng ma trận.
Phép biến hóa affine là một phép biến đổi tuyến tính kết hợp với một phép tịnh tiến. Nói cách khác, một phép biến hóa affine f có thể được biểu diễn dưới dạng:
Trong đó:
Để xác định một phép biến hóa affine, chúng ta cần xác định ma trận A và vector b.
Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng thông tin đã cho để tìm ma trận A và vector b. Ta có:
f(1; 2) = (3; 5) và f(0; 1) = (1; 3)
Viết lại dưới dạng ma trận:
A * (1; 2) + b = (3; 5)
A * (0; 1) + b = (1; 3)
Đặt A = [[a, b], [c, d]] và b = [[e], [f]]. Ta có hệ phương trình:
| Phương trình | Giải thích |
|---|---|
| a + 2b + e = 3 | Từ f(1; 2) = (3; 5) |
| c + 2d + f = 5 | Từ f(1; 2) = (3; 5) |
| b + e = 1 | Từ f(0; 1) = (1; 3) |
| d + f = 3 | Từ f(0; 1) = (1; 3) |
Giải hệ phương trình này, ta tìm được:
a = 2, b = -1, c = 1, d = 2, e = 2, f = 1
Vậy, ma trận A = [[2, -1], [1, 2]] và vector b = [[2], [1]]
Do đó, phép biến hóa affine f được xác định bởi:
f(x; y) = (2x - y + 2; x + 2y + 1)
Để củng cố kiến thức về phép biến hóa affine, các em có thể thực hành giải thêm các bài tập tương tự. Một số bài tập gợi ý:
Ngoài ra, các em cũng nên tìm hiểu thêm về các ứng dụng của phép biến hóa affine trong các lĩnh vực khác nhau như đồ họa máy tính, xử lý ảnh, và robot học.
Bài 1.22 trang 30 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về phép biến hóa affine và cách ứng dụng nó trong giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể tại giaitoan.edu.vn, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
