Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập trong sách giáo khoa Toán 11 tập 1. Mục 3 của chương trình Toán 11 tập 1 tập trung vào các kiến thức quan trọng về hàm số lượng giác và ứng dụng của chúng.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm của giaitoan.edu.vn đã biên soạn bộ giải bài tập này với mục đích giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập.
a) Xét các số thực x1, x2, sao cho \(0 < {x_1} < {x_2} < \frac{\pi }{2}\). Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x1 rad và x2 rad. Hãy so sánh tung độ của M và N, từ đó so sánh \(\sin {x_1}\) và \(\sin {x_2}\).
a) Xét các số thực x1, x2, sao cho \(0 < {x_1} < {x_2} < \frac{\pi }{2}\). Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x1 rad và x2 rad. Hãy so sánh tung độ của M và N, từ đó so sánh \(\sin {x_1}\) và \(\sin {x_2}\).
b) Xét các số thực x3, x4, sao cho \(\frac{\pi }{2} < {x_1} < {x_2} < \pi \). Gọi P và Q lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x3 rad và x4 rad. Hãy so sánh tung độ của P và Q, từ đó so sánh \(\sin {x_3}\) và \(\sin {x_4}\).
Phương pháp giải:
Lấy x1, x2 và x3, x4 bất kì thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Tung độ của các điểm M, N, P, Q chính là \(\sin {x_1}\), \(\sin {x_2}\), \(\sin {x_3}\), \(\sin {x_4}\). Tính \(\sin {x_1}\), \(\sin {x_2}\), \(\sin {x_3}\), \(\sin {x_4}\). Từ đó so sánh các giá trị này.
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\\{x_2} = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow \sin {x_1} < \sin {x_2}\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}{x_3} = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow \sin \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\{x_4} = \frac{{5\pi }}{6} \Rightarrow \sin \frac{{5\pi }}{6} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \sin {x_3} > \sin {x_4}\end{array}\)
a) Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \sin x\), xác định tất cả các giá trị của \(x \in \left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\) sao cho \(\sin x = 0\).
b) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\).
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị hàm số \(y = \sin x\).
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(x \in \left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\), ta có \(\sin x = 0\) khi \(x \in \left\{ { - 3\pi ; - 2\pi ; - \pi ;0;\pi ;2\pi ;3\pi } \right\}\).
b) Các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\) là \(\left( { - 3\pi ; - \frac{{5\pi }}{2}} \right),\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right),\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right),\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right)\).
Xét các số thực x1, x2 sao cho \(0 < {x_1} < {x_2} < \pi \). Gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo x1 rad và x2 rad. Hãy so sánh hoành độ của M và N, từ đó so sánh \(\cos {x_1}\) và \(\cos {x_2}\).
Phương pháp giải:
Lấy x1, x2 bất kì thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Hoành độ của các điểm M, N chính là \(\cos {x_1},\cos {x_2}\). Tính \(\cos {x_1},\cos {x_2}\). Từ đó so sánh các giá trị này.
Lấy x1, x2 bất kì thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Hoành độ của các điểm M, N chính là \(\cos {x_1},\cos {x_2}\). Tính \(\cos {x_1},\cos {x_2}\). Từ đó so sánh các giá trị này.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow \cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\{x_2} = \frac{\pi }{4} \Rightarrow \cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \cos {x_1} > \cos {x_2}\end{array}\)
a) Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \cos x\), xác định tất cả các giá trị của \(x \in \left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\) sao cho \(\cos x = - 1\).
b) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\).
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị hàm số \(y = \cos x\).
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \cos x\), tất cả các giá trị của \(x \in \left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\) sao cho \(\cos x = - 1\) là \( - 3\pi , - \pi ,\pi ,3\pi \).
b) Các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]\) là \(\left( { - 2\pi ; - \pi } \right),\left( {0;\pi } \right),\left( {2\pi ;3\pi } \right)\).
Giả sử nhiệt độ bên trong một ngôi nhà sau t giờ kể từ 12 giờ trưa, gọi là \(T\left( t \right)\), được tính bởi công thức: \(T\left( t \right) = 5\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{6}} \right) + 25\left( {^0C} \right)\), \(0 \le t \le 24\).
a) Tìm nhiệt độ bên trong ngôi nhà lúc 12 giờ trưa, 6 giờ tối, 12 giờ đêm theo công thức trên.
b) Theo công thức trên, nhiệt độ cao nhất bên trong ngôi nhà là bao nhiêu?
Phương pháp giải:
a) t giờ được tính kể từ 12 giờ trưa nên t lúc 12 giờ trưa bằng 0, lúc 6 giờ tối bằng 6, lúc 12 giờ đêm bằng 12. Thay t = 0, 6, 12 lần lượt vào công thức.
b) Dựa vào \(\cos a \le 1\forall a\) để lập luận.
Lời giải chi tiết:
a) \(T\left( 0 \right) = 5\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .0}}{6}} \right) + 25 = 25\left( {^0C} \right)\)
\(T\left( 6 \right) = 5\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .6}}{6}} \right) + 25 = 25\left( {^0C} \right)\)
\(T\left( {12} \right) = 5\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .12}}{6}} \right) + 25 = 25\left( {^0C} \right)\)
Vậy nhiệt độ bên trong ngôi nhà lúc 12 giờ trưa, 6 giờ tối, 12 giờ đêm đều là \({25^0}C\).
b)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .12}}{6}} \right) \le 1\forall t\\ \Leftrightarrow 5\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .12}}{6}} \right) \le 5\forall t\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi .12}}{6}} \right) + 25 \le 30\forall t\end{array}\)
Vậy nhiệt độ cao nhất trong nhà là \({30^0}C\).
a) Chép lại và hoàn thành bảng sau:
x | \(\frac{\pi }{6}\) | \(\frac{\pi }{4}\) | \(\frac{\pi }{3}\) |
\(\tan x\) | ? | ? | ? |
b) So sánh \(\tan \frac{\pi }{6},\tan \frac{\pi }{4}\) và \(\tan \frac{\pi }{3}\).
Phương pháp giải:
Thay \(x = \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\) vào \(\tan x\) để tính rồi so sánh.
Lời giải chi tiết:
a)
x | \(\frac{\pi }{6}\) | \(\frac{\pi }{4}\) | \(\frac{\pi }{3}\) |
\(\tan x\) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) | 1 | \(\sqrt 3 \) |
b) \(\tan \frac{\pi }{6} < \tan \frac{\pi }{4} < \tan \frac{\pi }{3}\).
Xác định các khoảng đồng biến của hàm số \(y = \tan x\) trên \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right\}\).
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị hàm số \(y = \tan x\).
Lời giải chi tiết:
Khoảng đồng biến của hàm số \(y = \tan x\) trên \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right\}\) là \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right),\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right),\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).
a) Chép lại và hoàn thành bảng sau:
b) So sánh các giá trị của trong bảng trên.
Phương pháp giải:
Thay \(x = \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{{2\pi }}{3},\frac{{3\pi }}{4},\frac{{5\pi }}{6}\) vào \(\cot x\) để tính rồi so sánh.
Lời giải chi tiết:
a)
b) \(\cot \frac{\pi }{6} > \cot \frac{\pi }{4} > \cot \frac{\pi }{3} > \cot \frac{{2\pi }}{3} > \cot \frac{{3\pi }}{4} > \cot \frac{{5\pi }}{6}\)
Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \cot x\) trên \(\left( { - 2\pi ;2\pi } \right)\backslash \left\{ { - \pi ;0;\pi } \right\}\).
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị hàm số \(y = \cot x\).
Lời giải chi tiết:
Các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \cot x\) trên \(\left( { - 2\pi ;2\pi } \right)\backslash \left\{ { - \pi ;0;\pi } \right\}\) là \(\left( { - 2\pi ; - \pi } \right),\left( { - \pi ,0} \right),\left( {0;\pi } \right),\left( {\pi ;2\pi } \right)\).
Mục 3 của SGK Toán 11 tập 1 bao gồm các bài tập liên quan đến việc khảo sát hàm số lượng giác, tìm tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu và cực trị của hàm số lượng giác. Để giải quyết các bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Các bài tập trên trang 26 thường yêu cầu học sinh xác định tập xác định của các hàm số lượng giác. Để làm được điều này, cần lưu ý:
Ví dụ: Xét hàm số y = 1/sin(x). Tập xác định của hàm số là tất cả các giá trị x sao cho sin(x) ≠ 0, tức là x ≠ kπ, với k là số nguyên.
Các bài tập trên trang 27 và 28 thường yêu cầu học sinh tính giá trị của hàm số lượng giác tại một điểm cụ thể hoặc giải phương trình lượng giác. Để làm được điều này, cần:
Ví dụ: Tính giá trị của sin(π/3). Ta có sin(π/3) = √3/2.
Các bài tập trên trang 29 và 30 thường yêu cầu học sinh khảo sát hàm số lượng giác, bao gồm:
Ví dụ: Khảo sát hàm số y = sin(x). Ta có:
Để học tốt và giải quyết các bài tập trong mục 3 SGK Toán 11 tập 1, bạn nên:
Giaitoan.edu.vn hy vọng rằng bộ giải bài tập này sẽ giúp bạn học Toán 11 tập 1 một cách hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất. Chúc bạn thành công!
