Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều - Đề số 3, được biên soạn theo chương trình học mới nhất. Đề thi này là tài liệu ôn tập lý tưởng giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi bao gồm các dạng bài tập đa dạng, từ trắc nghiệm đến tự luận, bao phủ các kiến thức trọng tâm của chương trình học kì 2. Học sinh có thể sử dụng đề thi này để tự đánh giá năng lực và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi sắp tới.
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Trên giá sách có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 7 cuốn sách Ngữ văn khác nhau và có 5 cuốn truyện khác nhau. Số cách để Nam chọn một quyển sách để đọc là
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Trên giá sách có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 7 cuốn sách Ngữ văn khác nhau và có 5 cuốn truyện khác nhau. Số cách để Nam chọn một quyển sách để đọc là
A. 350 cách.
B. 75 cách.
C. 10 cách.
D. 22 cách.
Câu 2: Lớp 11B có 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh đi tham dự Đại hội Đoàn trường?
A. 25 cách.
B. 40 cách.
C. 15 cách.
D. 375 cách.
Câu 3: Từ các chữ số \(1,3,7\), có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?
A. 6 số.
B. 8 số.
C. 27 số.
D. 12 số.
Câu 4: Thực đơn của một nhà hàng bao gồm: 5 loại món ăn, 5 loại quả tráng miệng và 3 loại nước uống. Một người chọn bữa ăn cho mình bao gồm 1 loại món ăn, 1 loại quả tráng miệng và 1 loại nước uống. Số cách chọn một bữa ăn đó là
A. 25 cách.
B. 75 cách.
C. 100 cách.
D. 15 cách.
Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(1 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?
A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
C. \(A_n^k = \frac{{k!}}{{n!}}\).
D. \(A_n^k = \frac{{(n - k)!}}{{k!}}\).
Câu 6: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n \ge k\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. \({A_n} = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)\).
B. \(A_n^k = n(n - 1) \ldots k\).
C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
D. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
Câu 7: Cho tập hợp \(A\) có \(n\) phần tử ( \(n \ge 1\)) và số nguyên dương \(k\) thoả mãn \(k \le n\). Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
A. Tất cả kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
B. Tất cả tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).
C. Mỗi kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
D. Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).
Câu 8: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n > k\). Trong các mệnh đề sau, phát biểu nào sai?
A. \(C_n^k = C_n^{n - k}\).
B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
D. \(C_n^k = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\).
Câu 9: Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 1 đáp án đúng trong 4 đáp án. Giả sử các đáp án được chọn ngẫu nhiên. Số khả năng làm đúng 4 câu trên 10 câu của đề thi đó là:
A. \(C_{10}^{10}\).
B. \(C_{10}^4\).
C. \({3^6}C_{10}^4\).
D. \({3^6}A_{10}^4\).
Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2020 chữ số sao cho tổng các chữ số trong mỗi số bằng 3?
A. 2041209.
B. \(2037172.\)
C. 2041210.
D. 4039.
Câu 11: Lớp \(10\;A\) có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một bạn làm lớp phó lao động?
A. 500.
B. \(20.\)
C. 45.
D. 25.
Câu 12: Có bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có ba chữ số?
A. 450.
B. 900.
C. 405.
D. 328.
Câu 13: Cho số nguyên dương \(n\) thoả mãn \(C_n^2 = 45\). Giá trị \(A_n^3\) là
A. 80.
B. 90.
C. 750.
D. 720.
Câu 14: Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x - 5)^4}\) là
A. 160.
B. \( - 160\).
C. 600.
D. \( - 600\).
Câu 15: Khai triển của \({(x + 1)^5}\) là:
A. \({x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).
B. \({x^5} - 5{x^4} + 10{x^3} - 10{x^2} + 5x - 1\).
C. \({x^5} + 4{x^4} + 3{x^3} + 2{x^2} + x + 1\).
D. \({x^5} + 2{x^4} + 3{x^3} + 4{x^2} + 5x + 1\).
Câu 16: Biểu diễn \({(1 + \sqrt 2 )^4}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,b\) là các số nguyên. Vậy \(a + b\) bằng:
A. 29.
B. 18.
C. 17.
D. 12.
Câu 17: Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển biểu thức \({(2 - 3x)^4}\) là:
A. \(216.\)
B. \( - 216\).
C. 72.
D. \( - 72\).
Câu 18: Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là:
A. \( - 8\).
B. 40.
C. 80.
D. 10.
Câu 19: Khai triển nhị thức Newton của \({(3 - y)^4}\) là
A. \(81 + 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
B. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
C. \(243 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
D. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^5}\).
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 1; - 5),B(5;2)\) và trọng tâm là gốc toạ độ. Toạ độ điểm \(C\) là:
A. \((4; - 3)\).
B. \(( - 4; - 3)\).
C. \(( - 4;3)\).
D. \((4;3)\).
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) và \(M(4; - 1),N(0;2),P(5;3)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Toạ độ điểm \(B\) là:
A. \((1;6)\).
B. \((9;0)\).
C. \(( - 1; - 2)\).
D. \((0;9)\).
Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 3;4)\) và \(B(6; - 2)\). Điểm \(M\) thuộc trục tung sao cho ba điểm \(A,B,M\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(M\) là:
A. \((0;3)\).
B. \((0; - 3)\).
C. \((0; - 2)\).
D. \((0;2)\).
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 4;5)\) và \(B(8; - 1)\). Điểm \(P\) thuộc trục hoành sao cho ba điểm \(A,B,P\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(P\) là:
A. \((0;3)\).
B. \((0; - 3)\).
C. \(( - 6;0)\).
D. \((6;0)\).
Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1;5),B(3;2)\). Điểm \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(B\). Toạ độ điểm \(C\) là:
A. \((5; - 1)\).
B. \(\left( {2;\frac{7}{2}} \right)\).
C. \(( - 1;8)\).
D. \((5;1)\).
Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào vuông góc với nhau trong các vectơ \(\vec a = (2; - 1),\vec b = (3;7),\vec c = (3;1)\) và \(\vec d = (2; - 6)\)?
A. \(\vec a\) và \(\vec b\).
B. \(\vec c\) và \(\vec d\).
C. \(\vec a\) và \(\vec c\).
D. \(\vec b\) và \(\vec c\).
Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), vectơ \(\vec a = ( - 3; - 4)\) có độ dài bằng:
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 25.
Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 1; - 3)\) và \(B(3; - 2)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) bằng:
A. \(17.\)
B. \(\sqrt {17} \).
C. 5.
D. \(\sqrt 5 \).
Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec u = (2;1),\vec v = ( - 3;1)\). Góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng:
A. \({45^0}\).
B. \({150^0}\).
C. \({135^0}\).
D. \({30^0}\).
Câu 29: Trong mặt phẳng tọ̣ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(2;4),B(0; - 2),C(5;3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:
A. \(x - y + 5 = 0\).
B. \(x + y - 5 = 0\).
C. \(x - y + 2 = 0\).
D. \(x + y = 0\).
Câu 30: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(5;2),B(5; - 2),C(4; - 3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:
A. \(x - y + 7 = 0\).
B. \(x + y - 7 = 0\).
C. \(x - y - 5 = 0\).
D. \(x + y = 0\).
Câu 31: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(1; - 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(2; - 1)\) là:
A. \(2x + y - 5 = 0\).
B. \(2x - y - 5 = 0\).
C. \(x + 2y + 5 = 0\).
D. \(x + 2y - 5 = 0\).
Câu 32: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u( - 1;4)\) là:
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 4t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 4 + t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).
Câu 33: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(M(2;4)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 3t}\\{y = - 5 - 4t}\end{array}} \right.\). Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:
A. \(\frac{5}{2}\).
B. 3.
C. 5.
D. \(\frac{9}{5}\).
Câu 34: Cho hai đường thẳng \({d_1}:3x - 4y + 5 = 0,{d_2}:4x - 3y + 2 = 0\). Điểm \(M\) nào sau đây cách đều hai đường thẳng trên?
A. \(M(1;0)\).
B. \(M(2;3)\).
C. \(M(4; - 2)\).
D. \(M( - 1;2)\).
Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y - 3 = 0\). Đường thẳng nào sau đây có vị trí tương đối trùng với đường thẳng \(\Delta \)?
A. \({\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0\).
B. \({\Delta _2}:2x + y - 3 = 0\).
C. \({\Delta _3}:2x - 4y - 1 = 0\).
D. \({\Delta _4}:2x - 4y - 6 = 0\).
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Cho tập hợp \(A = \{ 0;1;2;3;4;5\} \). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có bốn chữ số khác nhau?
Bài 2. Giải bất phương trình \(2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0\).
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j,\vec b = x\vec i - 4\vec j\). Tìm \(x\) để:
a) \(\vec a \bot \vec b\)
b) \(|\vec a| = |\vec b|\).
c) \(\vec a,\vec b\) cùng phương với nhau.
Bài 4. Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).
-------- Hết --------
Phần trắc nghiệm
Câu 1. D | Câu 2. B | Câu 3. C | Câu 4. B | Câu 5. B | Câu 6. A | Câu 7. D |
Câu 8. B | Câu 9. C | Câu 10. C | Câu 11. C | Câu 12. A | Câu 13. D | Câu 14. B |
Câu 15. A | Câu 16. A | Câu 17. A | Câu 18. D | Câu 19. B | Câu 20. C | Câu 21. B |
Câu 22. D | Câu 23. D | Câu 24. A | Câu 25. B | Câu 26. A | Câu 27. B | Câu 28. C |
Câu 29. C | Câu 30. B | Câu 31. B | Câu 32. D | Câu 33. B | Câu 34. B | Câu 35. D |
Câu 1: Trên giá sách có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 7 cuốn sách Ngữ văn khác nhau và có 5 cuốn truyện khác nhau. Số cách để Nam chọn một quyển sách để đọc là
A. 350 cách.
B. 75 cách.
C. 10 cách.
D. 22 cách.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 2: Lớp 11B có 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh đi tham dự Đại hội Đoàn trường?
A. 25 cách.
B. 40 cách.
C. 15 cách.
D. 375 cách.
Lời giải
Đáp án B.
Câu 3: Từ các chữ số \(1,3,7\), có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?
A. 6 số.
B. 8 số.
C. 27 số.
D. 12 số.
Lời giải
Đáp án C.
Câu 4: Thực đơn của một nhà hàng bao gồm: 5 loại món ăn, 5 loại quả tráng miệng và 3 loại nước uống. Một người chọn bữa ăn cho mình bao gồm 1 loại món ăn, 1 loại quả tráng miệng và 1 loại nước uống. Số cách chọn một bữa ăn đó là
A. 25 cách.
B. 75 cách.
C. 100 cách.
D. 15 cách.
Lời giải
Đáp án B.
Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(1 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?
A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
C. \(A_n^k = \frac{{k!}}{{n!}}\).
D. \(A_n^k = \frac{{(n - k)!}}{{k!}}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 6: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n \ge k\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. \({A_n} = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)\).
B. \(A_n^k = n(n - 1) \ldots k\).
C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
D. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 7: Cho tập hợp \(A\) có \(n\) phần tử ( \(n \ge 1\)) và số nguyên dương \(k\) thoả mãn \(k \le n\). Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
A. Tất cả kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
B. Tất cả tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).
C. Mỗi kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
D. Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 8: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n > k\). Trong các mệnh đề sau, phát biểu nào sai?
A. \(C_n^k = C_n^{n - k}\).
B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
D. \(C_n^k = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 9: Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 1 đáp án đúng trong 4 đáp án. Giả sử các đáp án được chọn ngẫu nhiên. Số khả năng làm đúng 4 câu trên 10 câu của đề thi đó là:
A. \(C_{10}^{10}\).
B. \(C_{10}^4\).
C. \({3^6}C_{10}^4\).
D. \({3^6}A_{10}^4\).
Lời giải
Mỗi cách chọn 4 câu làm đúng trong 10 câu là một tổ hợp chập 4 của 10 phần tử nên số cách chọn là \(C_{10}^4\).
Vì 6 câu còn lại làm sai mà có 3 đáp án sai mỗi câu nên số khả năng làm đúng 4 câu trên 10 câu của đề thi đó là \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot C_{10}^4 = {3^6}C_{10}^4\).
Đáp án C.
Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2020 chữ số sao cho tổng các chữ số trong mỗi số bằng 3?
A. 2041209.
B. \(2037172.\)
C. 2041210.
D. 4039.
Lời giải
Do tổng các chữ số trong mỗi số là 3 nên ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: có một số duy nhất là số \(300 \ldots 0\) (có tất cả 2019 số 0).
Trường hợp 2: có 3 chữ số 1 trong số cần tìm.
Vị trí đầu khác 0 nên có 1 cách xếp.
Hai chữ số 1 còn lại có \(C_{2019}^2\) cách xếp nên trường hợp này có \(C_{2019}^2\) số.
Truờng hợp 3: chỉ có hai chữ số khác 0 và chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đều là chữ số 0. Vị trí đầu có 2 cách xếp. Có \(C_{2019}^1\) cách xếp chữ số còn lại nên trường hợp này có \(2 \cdot C_{2019}^1\) số. Vậy có tất cả 2041210 số.
Đáp án C.
Câu 11: Lớp \(10\;A\) có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một bạn làm lớp phó lao động?
A. 500.
B. \(20.\)
C. 45.
D. 25.
Lời giải
Đáp án C.
Câu 12: Có bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có ba chữ số?
A. 450.
B. 900.
C. 405.
D. 328.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 13: Cho số nguyên dương \(n\) thoả mãn \(C_n^2 = 45\). Giá trị \(A_n^3\) là
A. 80.
B. 90.
C. 750.
D. 720.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 14: Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x - 5)^4}\) là
A. 160.
B. \( - 160\).
C. 600.
D. \( - 600\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 15: Khai triển của \({(x + 1)^5}\) là:
A. \({x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).
B. \({x^5} - 5{x^4} + 10{x^3} - 10{x^2} + 5x - 1\).
C. \({x^5} + 4{x^4} + 3{x^3} + 2{x^2} + x + 1\).
D. \({x^5} + 2{x^4} + 3{x^3} + 4{x^2} + 5x + 1\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 16: Biểu diễn \({(1 + \sqrt 2 )^4}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,b\) là các số nguyên. Vậy \(a + b\) bằng:
A. 29.
B. 18.
C. 17.
D. 12.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 17: Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển biểu thức \({(2 - 3x)^4}\) là:
A. \(216.\)
B. \( - 216\).
C. 72.
D. \( - 72\).
Lời giải
Ta có: \({(2 - 3x)^4} = {(3x - 2)^4}\).
Số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển biểu thức \({(2 - 3x)^4} = {(3x - 2)^4}\) là 6. \({(3x)^2} \cdot {( - 2)^2} = 216{x^2}\). Vậy hệ số của \({x^2}\) là 216.
Đáp án A.
Câu 18: Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là:
A. \( - 8\).
B. 40.
C. 80.
D. 10.
Lời giải
Số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là \(5 \cdot {x^4} \cdot 2 = 10{x^4}\). Vậy hệ số của \({x^4}\) là 10.
Đáp án D.
Câu 19: Khai triển nhị thức Newton của \({(3 - y)^4}\) là
A. \(81 + 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
B. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
C. \(243 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
D. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^5}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 1; - 5),B(5;2)\) và trọng tâm là gốc toạ độ. Toạ độ điểm \(C\) là:
A. \((4; - 3)\).
B. \(( - 4; - 3)\).
C. \(( - 4;3)\).
D. \((4;3)\).
Lời giải
Giả sử \(C(x;y)\). Trọng tâm tam giác \(ABC\) là gốc toạ độ, tức là \(O(0;0)\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - 1 + 5 + x}}{3} = 0}\\{\frac{{ - 5 + 2 + y}}{3} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 4}\\{y = 3.}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(C( - 4;3)\).
Đáp án C.
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) và \(M(4; - 1),N(0;2),P(5;3)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Toạ độ điểm \(B\) là:
A. \((1;6)\).
B. \((9;0)\).
C. \(( - 1; - 2)\).
D. \((0;9)\).
Lời giải
Giả sử \(B(x;y)\). Ta có: \(\overrightarrow {PB} = (x - 5;y - 3),\overrightarrow {NM} = (4; - 3)\).
Vì \(MN\) là đường trung bình ứng với cạnh \(AB\), mà \(P\) là trung điểm \(AB\) nên \(\overrightarrow {PB} = \overrightarrow {NM} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 5 = 4}\\{y - 3 = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 9}\\{y = 0.}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(B(9;0)\).
Đáp án B.
Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 3;4)\) và \(B(6; - 2)\). Điểm \(M\) thuộc trục tung sao cho ba điểm \(A,B,M\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(M\) là:
A. \((0;3)\).
B. \((0; - 3)\).
C. \((0; - 2)\).
D. \((0;2)\).
Lời giải
Do \(M \in Oy\) nên giả sử \(M(0;m)\). Ta có: \(\overrightarrow {AM} = (3;m - 4),\overrightarrow {AB} = (9; - 6)\). Vì \(A,B,M\) thẳng hàng nên \(\frac{3}{9} = \frac{{m - 4}}{{ - 6}} \Leftrightarrow m = 2\). Vậy \(M(0;2)\).
Đáp án D.
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 4;5)\) và \(B(8; - 1)\). Điểm \(P\) thuộc trục hoành sao cho ba điểm \(A,B,P\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(P\) là:
A. \((0;3)\).
B. \((0; - 3)\).
C. \(( - 6;0)\).
D. \((6;0)\).
Lời giải
Do \(P \in Ox\) nên giả sử \(P(p;0)\). Ta có: \(\overrightarrow {AP} = (p + 4; - 5),\overrightarrow {AB} = (12; - 6)\). Vì \(A,B,P\) thẳng hàng nên \(\frac{{p + 4}}{{12}} = \frac{{ - 5}}{{ - 6}} \Leftrightarrow p = 6\). Vậy \(P(6;0)\).
Đáp án D.
Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1;5),B(3;2)\). Điểm \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(B\). Toạ độ điểm \(C\) là:
A. \((5; - 1)\).
B. \(\left( {2;\frac{7}{2}} \right)\).
C. \(( - 1;8)\).
D. \((5;1)\).
Lời giải
\(C\) đối xứng của với \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(AC\).
Giả sử \(C(a;b)\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{a + 1}}{2} = 3}\\{\frac{{b + 5}}{2} = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 5}\\{b = - 1}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(C(5; - 1)\).
Đáp án A.
Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào vuông góc với nhau trong các vectơ \(\vec a = (2; - 1),\vec b = (3;7),\vec c = (3;1)\) và \(\vec d = (2; - 6)\)?
A. \(\vec a\) và \(\vec b\).
B. \(\vec c\) và \(\vec d\).
C. \(\vec a\) và \(\vec c\).
D. \(\vec b\) và \(\vec c\).
Lời giải
Ta có: \(\vec c \cdot \vec d = 3 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 6) = 0\). Suy ra \(\vec c \bot \vec d\).
Đáp án B.
Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), vectơ \(\vec a = ( - 3; - 4)\) có độ dài bằng:
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 25.
Lời giải
Ta có: \(|\vec a| = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 4)}^2}} = 5\).
Đáp án A.
Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 1; - 3)\) và \(B(3; - 2)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) bằng:
A. \(17.\)
B. \(\sqrt {17} \).
C. 5.
D. \(\sqrt 5 \).
Lời giải
Ta có: \(AB = \sqrt {{{[3 - ( - 1)]}^2} + \left[ {( - 2) - {{( - 3)}^2}} \right.} = \sqrt {17} \).
Đáp án B.
Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec u = (2;1),\vec v = ( - 3;1)\). Góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng:
A. \({45^0}\).
B. \({150^0}\).
C. \({135^0}\).
D. \({30^0}\).
Lời giải
Ta có: \(\cos (\vec u,\vec v) = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{2 \cdot ( - 3) + 1 \cdot 1}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{( - 3)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Suy ra \((\vec u,\vec v) = {135^0}\).
Đáp án C.
Câu 29: Trong mặt phẳng tọ̣ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(2;4),B(0; - 2),C(5;3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:
A. \(x - y + 5 = 0\).
B. \(x + y - 5 = 0\).
C. \(x - y + 2 = 0\).
D. \(x + y = 0\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 30: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(5;2),B(5; - 2),C(4; - 3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:
A. \(x - y + 7 = 0\).
B. \(x + y - 7 = 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 31: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(1; - 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(2; - 1)\) là:
A. \(2x + y - 5 = 0\).
B. \(2x - y - 5 = 0\).
C. \(x + 2y + 5 = 0\).
D. \(x + 2y - 5 = 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 32: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u( - 1;4)\) là:
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 4t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 4 + t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 33: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(M(2;4)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 3t}\\{y = - 5 - 4t}\end{array}} \right.\). Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:
A. \(\frac{5}{2}\).
B. 3.
C. 5.
D. \(\frac{9}{5}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 34: Cho hai đường thẳng \({d_1}:3x - 4y + 5 = 0,{d_2}:4x - 3y + 2 = 0\). Điểm \(M\) nào sau đây cách đều hai đường thẳng trên?
A. \(M(1;0)\).
B. \(M(2;3)\).
C. \(M(4; - 2)\).
D. \(M( - 1;2)\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y - 3 = 0\). Đường thẳng nào sau đây có vị trí tương đối trùng với đường thẳng \(\Delta \)?
A. \({\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0\).
B. \({\Delta _2}:2x + y - 3 = 0\).
C. \({\Delta _3}:2x - 4y - 1 = 0\).
D. \({\Delta _4}:2x - 4y - 6 = 0\).
Lời giải
Đáp án D.
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Cho tập hợp \(A = \{ 0;1;2;3;4;5\} \). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có bốn chữ số khác nhau?
Lời giải
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là \(\overline {abcd} \).
Trường hợp 1: \(d = 0\).
Chọn \(d\): có 1 cách. Chọn \(a(a \ne 0)\): có 5 cách.
Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4,3.
Số các số tự nhiên trong trường hợp này là \(1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60\).
Trường hợp 2: \(d \in \{ 2;4\} \).
Chọn \(d\): có 2 cách. Chọn \(a(a \ne 0,a \ne d)\): có 4 cách.
Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4,3.
Số các số tự nhiên trong trường hợp này là \(2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96\).
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(60 + 96 = 156\).
Bài 2. Giải bất phương trình \(2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0\).
Lời giải
Điều kiện: \(n \in \mathbb{N},n \ge 2\).
Ta có: \(2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0 \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{{(n + 1)!}}{{2!(n - 1)!}} + 3 \cdot \frac{{n!}}{{(n - 2)!}} - 20 < 0\) \( \Leftrightarrow n(n + 1) + 3(n - 1)n - 20 < 0 \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 10 < 0 \Leftrightarrow - 2 < n < \frac{5}{2}\).
Vì \(n \in \mathbb{N},n \ge 2 \Rightarrow n = 2\). Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \{ 2\} \).
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j,\vec b = x\vec i - 4\vec j\). Tìm \(x\) để:
a) \(\vec a \bot \vec b\)
b) \(|\vec a| = |\vec b|\).
c) \(\vec a,\vec b\) cùng phương với nhau.
Lời giải
a) Ta có: \(\vec a = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),\vec b = (x; - 4);\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + ( - 5)( - 4) = 0 \Leftrightarrow x = - 40\).
b) Ta có: \(|\vec a| = |\vec b| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{( - 5)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{( - 4)}^2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16} = \frac{{\sqrt {101} }}{2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 16 = \frac{{101}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}\).
c) Ta có: \(\vec a,\vec b\) cùng phương khi và chỉ khi \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}\).
Bài 4. Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).
Lời giải
Hai đường thẳng đã cho có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1; - m),{\vec n_2} = (1;m)\).
Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }} = \cos 60^\circ \Rightarrow \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{1 + {m^2}}} = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow 2\left| {1 - {m^2}} \right| = 1 + {m^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(1 - {m^2}) = 1 + {m^2}}\\{2(1 - {m^2}) = - 1 - {m^2}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} = 1}\\{{m^2} = 3}\end{array} \Rightarrow m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} } \right.} \right.{\rm{. }}\)
Vậy \(m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \) thỏa mãn đề bài.
Tải về
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Trên giá sách có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 7 cuốn sách Ngữ văn khác nhau và có 5 cuốn truyện khác nhau. Số cách để Nam chọn một quyển sách để đọc là
A. 350 cách.
B. 75 cách.
C. 10 cách.
D. 22 cách.
Câu 2: Lớp 11B có 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh đi tham dự Đại hội Đoàn trường?
A. 25 cách.
B. 40 cách.
C. 15 cách.
D. 375 cách.
Câu 3: Từ các chữ số \(1,3,7\), có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?
A. 6 số.
B. 8 số.
C. 27 số.
D. 12 số.
Câu 4: Thực đơn của một nhà hàng bao gồm: 5 loại món ăn, 5 loại quả tráng miệng và 3 loại nước uống. Một người chọn bữa ăn cho mình bao gồm 1 loại món ăn, 1 loại quả tráng miệng và 1 loại nước uống. Số cách chọn một bữa ăn đó là
A. 25 cách.
B. 75 cách.
C. 100 cách.
D. 15 cách.
Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(1 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?
A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
C. \(A_n^k = \frac{{k!}}{{n!}}\).
D. \(A_n^k = \frac{{(n - k)!}}{{k!}}\).
Câu 6: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n \ge k\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. \({A_n} = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)\).
B. \(A_n^k = n(n - 1) \ldots k\).
C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
D. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
Câu 7: Cho tập hợp \(A\) có \(n\) phần tử ( \(n \ge 1\)) và số nguyên dương \(k\) thoả mãn \(k \le n\). Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
A. Tất cả kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
B. Tất cả tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).
C. Mỗi kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
D. Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).
Câu 8: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n > k\). Trong các mệnh đề sau, phát biểu nào sai?
A. \(C_n^k = C_n^{n - k}\).
B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
D. \(C_n^k = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\).
Câu 9: Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 1 đáp án đúng trong 4 đáp án. Giả sử các đáp án được chọn ngẫu nhiên. Số khả năng làm đúng 4 câu trên 10 câu của đề thi đó là:
A. \(C_{10}^{10}\).
B. \(C_{10}^4\).
C. \({3^6}C_{10}^4\).
D. \({3^6}A_{10}^4\).
Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2020 chữ số sao cho tổng các chữ số trong mỗi số bằng 3?
A. 2041209.
B. \(2037172.\)
C. 2041210.
D. 4039.
Câu 11: Lớp \(10\;A\) có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một bạn làm lớp phó lao động?
A. 500.
B. \(20.\)
C. 45.
D. 25.
Câu 12: Có bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có ba chữ số?
A. 450.
B. 900.
C. 405.
D. 328.
Câu 13: Cho số nguyên dương \(n\) thoả mãn \(C_n^2 = 45\). Giá trị \(A_n^3\) là
A. 80.
B. 90.
C. 750.
D. 720.
Câu 14: Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x - 5)^4}\) là
A. 160.
B. \( - 160\).
C. 600.
D. \( - 600\).
Câu 15: Khai triển của \({(x + 1)^5}\) là:
A. \({x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).
B. \({x^5} - 5{x^4} + 10{x^3} - 10{x^2} + 5x - 1\).
C. \({x^5} + 4{x^4} + 3{x^3} + 2{x^2} + x + 1\).
D. \({x^5} + 2{x^4} + 3{x^3} + 4{x^2} + 5x + 1\).
Câu 16: Biểu diễn \({(1 + \sqrt 2 )^4}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,b\) là các số nguyên. Vậy \(a + b\) bằng:
A. 29.
B. 18.
C. 17.
D. 12.
Câu 17: Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển biểu thức \({(2 - 3x)^4}\) là:
A. \(216.\)
B. \( - 216\).
C. 72.
D. \( - 72\).
Câu 18: Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là:
A. \( - 8\).
B. 40.
C. 80.
D. 10.
Câu 19: Khai triển nhị thức Newton của \({(3 - y)^4}\) là
A. \(81 + 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
B. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
C. \(243 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
D. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^5}\).
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 1; - 5),B(5;2)\) và trọng tâm là gốc toạ độ. Toạ độ điểm \(C\) là:
A. \((4; - 3)\).
B. \(( - 4; - 3)\).
C. \(( - 4;3)\).
D. \((4;3)\).
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) và \(M(4; - 1),N(0;2),P(5;3)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Toạ độ điểm \(B\) là:
A. \((1;6)\).
B. \((9;0)\).
C. \(( - 1; - 2)\).
D. \((0;9)\).
Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 3;4)\) và \(B(6; - 2)\). Điểm \(M\) thuộc trục tung sao cho ba điểm \(A,B,M\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(M\) là:
A. \((0;3)\).
B. \((0; - 3)\).
C. \((0; - 2)\).
D. \((0;2)\).
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 4;5)\) và \(B(8; - 1)\). Điểm \(P\) thuộc trục hoành sao cho ba điểm \(A,B,P\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(P\) là:
A. \((0;3)\).
B. \((0; - 3)\).
C. \(( - 6;0)\).
D. \((6;0)\).
Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1;5),B(3;2)\). Điểm \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(B\). Toạ độ điểm \(C\) là:
A. \((5; - 1)\).
B. \(\left( {2;\frac{7}{2}} \right)\).
C. \(( - 1;8)\).
D. \((5;1)\).
Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào vuông góc với nhau trong các vectơ \(\vec a = (2; - 1),\vec b = (3;7),\vec c = (3;1)\) và \(\vec d = (2; - 6)\)?
A. \(\vec a\) và \(\vec b\).
B. \(\vec c\) và \(\vec d\).
C. \(\vec a\) và \(\vec c\).
D. \(\vec b\) và \(\vec c\).
Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), vectơ \(\vec a = ( - 3; - 4)\) có độ dài bằng:
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 25.
Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 1; - 3)\) và \(B(3; - 2)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) bằng:
A. \(17.\)
B. \(\sqrt {17} \).
C. 5.
D. \(\sqrt 5 \).
Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec u = (2;1),\vec v = ( - 3;1)\). Góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng:
A. \({45^0}\).
B. \({150^0}\).
C. \({135^0}\).
D. \({30^0}\).
Câu 29: Trong mặt phẳng tọ̣ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(2;4),B(0; - 2),C(5;3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:
A. \(x - y + 5 = 0\).
B. \(x + y - 5 = 0\).
C. \(x - y + 2 = 0\).
D. \(x + y = 0\).
Câu 30: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(5;2),B(5; - 2),C(4; - 3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:
A. \(x - y + 7 = 0\).
B. \(x + y - 7 = 0\).
C. \(x - y - 5 = 0\).
D. \(x + y = 0\).
Câu 31: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(1; - 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(2; - 1)\) là:
A. \(2x + y - 5 = 0\).
B. \(2x - y - 5 = 0\).
C. \(x + 2y + 5 = 0\).
D. \(x + 2y - 5 = 0\).
Câu 32: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u( - 1;4)\) là:
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 4t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 4 + t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).
Câu 33: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(M(2;4)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 3t}\\{y = - 5 - 4t}\end{array}} \right.\). Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:
A. \(\frac{5}{2}\).
B. 3.
C. 5.
D. \(\frac{9}{5}\).
Câu 34: Cho hai đường thẳng \({d_1}:3x - 4y + 5 = 0,{d_2}:4x - 3y + 2 = 0\). Điểm \(M\) nào sau đây cách đều hai đường thẳng trên?
A. \(M(1;0)\).
B. \(M(2;3)\).
C. \(M(4; - 2)\).
D. \(M( - 1;2)\).
Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y - 3 = 0\). Đường thẳng nào sau đây có vị trí tương đối trùng với đường thẳng \(\Delta \)?
A. \({\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0\).
B. \({\Delta _2}:2x + y - 3 = 0\).
C. \({\Delta _3}:2x - 4y - 1 = 0\).
D. \({\Delta _4}:2x - 4y - 6 = 0\).
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Cho tập hợp \(A = \{ 0;1;2;3;4;5\} \). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có bốn chữ số khác nhau?
Bài 2. Giải bất phương trình \(2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0\).
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j,\vec b = x\vec i - 4\vec j\). Tìm \(x\) để:
a) \(\vec a \bot \vec b\)
b) \(|\vec a| = |\vec b|\).
c) \(\vec a,\vec b\) cùng phương với nhau.
Bài 4. Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).
-------- Hết --------
Phần trắc nghiệm
Câu 1. D | Câu 2. B | Câu 3. C | Câu 4. B | Câu 5. B | Câu 6. A | Câu 7. D |
Câu 8. B | Câu 9. C | Câu 10. C | Câu 11. C | Câu 12. A | Câu 13. D | Câu 14. B |
Câu 15. A | Câu 16. A | Câu 17. A | Câu 18. D | Câu 19. B | Câu 20. C | Câu 21. B |
Câu 22. D | Câu 23. D | Câu 24. A | Câu 25. B | Câu 26. A | Câu 27. B | Câu 28. C |
Câu 29. C | Câu 30. B | Câu 31. B | Câu 32. D | Câu 33. B | Câu 34. B | Câu 35. D |
Câu 1: Trên giá sách có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 7 cuốn sách Ngữ văn khác nhau và có 5 cuốn truyện khác nhau. Số cách để Nam chọn một quyển sách để đọc là
A. 350 cách.
B. 75 cách.
C. 10 cách.
D. 22 cách.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 2: Lớp 11B có 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh đi tham dự Đại hội Đoàn trường?
A. 25 cách.
B. 40 cách.
C. 15 cách.
D. 375 cách.
Lời giải
Đáp án B.
Câu 3: Từ các chữ số \(1,3,7\), có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?
A. 6 số.
B. 8 số.
C. 27 số.
D. 12 số.
Lời giải
Đáp án C.
Câu 4: Thực đơn của một nhà hàng bao gồm: 5 loại món ăn, 5 loại quả tráng miệng và 3 loại nước uống. Một người chọn bữa ăn cho mình bao gồm 1 loại món ăn, 1 loại quả tráng miệng và 1 loại nước uống. Số cách chọn một bữa ăn đó là
A. 25 cách.
B. 75 cách.
C. 100 cách.
D. 15 cách.
Lời giải
Đáp án B.
Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(1 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?
A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
C. \(A_n^k = \frac{{k!}}{{n!}}\).
D. \(A_n^k = \frac{{(n - k)!}}{{k!}}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 6: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n \ge k\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. \({A_n} = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)\).
B. \(A_n^k = n(n - 1) \ldots k\).
C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
D. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 7: Cho tập hợp \(A\) có \(n\) phần tử ( \(n \ge 1\)) và số nguyên dương \(k\) thoả mãn \(k \le n\). Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
A. Tất cả kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
B. Tất cả tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).
C. Mỗi kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
D. Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 8: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n > k\). Trong các mệnh đề sau, phát biểu nào sai?
A. \(C_n^k = C_n^{n - k}\).
B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
D. \(C_n^k = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 9: Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 1 đáp án đúng trong 4 đáp án. Giả sử các đáp án được chọn ngẫu nhiên. Số khả năng làm đúng 4 câu trên 10 câu của đề thi đó là:
A. \(C_{10}^{10}\).
B. \(C_{10}^4\).
C. \({3^6}C_{10}^4\).
D. \({3^6}A_{10}^4\).
Lời giải
Mỗi cách chọn 4 câu làm đúng trong 10 câu là một tổ hợp chập 4 của 10 phần tử nên số cách chọn là \(C_{10}^4\).
Vì 6 câu còn lại làm sai mà có 3 đáp án sai mỗi câu nên số khả năng làm đúng 4 câu trên 10 câu của đề thi đó là \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot C_{10}^4 = {3^6}C_{10}^4\).
Đáp án C.
Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2020 chữ số sao cho tổng các chữ số trong mỗi số bằng 3?
A. 2041209.
B. \(2037172.\)
C. 2041210.
D. 4039.
Lời giải
Do tổng các chữ số trong mỗi số là 3 nên ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: có một số duy nhất là số \(300 \ldots 0\) (có tất cả 2019 số 0).
Trường hợp 2: có 3 chữ số 1 trong số cần tìm.
Vị trí đầu khác 0 nên có 1 cách xếp.
Hai chữ số 1 còn lại có \(C_{2019}^2\) cách xếp nên trường hợp này có \(C_{2019}^2\) số.
Truờng hợp 3: chỉ có hai chữ số khác 0 và chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đều là chữ số 0. Vị trí đầu có 2 cách xếp. Có \(C_{2019}^1\) cách xếp chữ số còn lại nên trường hợp này có \(2 \cdot C_{2019}^1\) số. Vậy có tất cả 2041210 số.
Đáp án C.
Câu 11: Lớp \(10\;A\) có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một bạn làm lớp phó lao động?
A. 500.
B. \(20.\)
C. 45.
D. 25.
Lời giải
Đáp án C.
Câu 12: Có bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có ba chữ số?
A. 450.
B. 900.
C. 405.
D. 328.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 13: Cho số nguyên dương \(n\) thoả mãn \(C_n^2 = 45\). Giá trị \(A_n^3\) là
A. 80.
B. 90.
C. 750.
D. 720.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 14: Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x - 5)^4}\) là
A. 160.
B. \( - 160\).
C. 600.
D. \( - 600\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 15: Khai triển của \({(x + 1)^5}\) là:
A. \({x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).
B. \({x^5} - 5{x^4} + 10{x^3} - 10{x^2} + 5x - 1\).
C. \({x^5} + 4{x^4} + 3{x^3} + 2{x^2} + x + 1\).
D. \({x^5} + 2{x^4} + 3{x^3} + 4{x^2} + 5x + 1\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 16: Biểu diễn \({(1 + \sqrt 2 )^4}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,b\) là các số nguyên. Vậy \(a + b\) bằng:
A. 29.
B. 18.
C. 17.
D. 12.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 17: Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển biểu thức \({(2 - 3x)^4}\) là:
A. \(216.\)
B. \( - 216\).
C. 72.
D. \( - 72\).
Lời giải
Ta có: \({(2 - 3x)^4} = {(3x - 2)^4}\).
Số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển biểu thức \({(2 - 3x)^4} = {(3x - 2)^4}\) là 6. \({(3x)^2} \cdot {( - 2)^2} = 216{x^2}\). Vậy hệ số của \({x^2}\) là 216.
Đáp án A.
Câu 18: Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là:
A. \( - 8\).
B. 40.
C. 80.
D. 10.
Lời giải
Số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là \(5 \cdot {x^4} \cdot 2 = 10{x^4}\). Vậy hệ số của \({x^4}\) là 10.
Đáp án D.
Câu 19: Khai triển nhị thức Newton của \({(3 - y)^4}\) là
A. \(81 + 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
B. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
C. \(243 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).
D. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^5}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 1; - 5),B(5;2)\) và trọng tâm là gốc toạ độ. Toạ độ điểm \(C\) là:
A. \((4; - 3)\).
B. \(( - 4; - 3)\).
C. \(( - 4;3)\).
D. \((4;3)\).
Lời giải
Giả sử \(C(x;y)\). Trọng tâm tam giác \(ABC\) là gốc toạ độ, tức là \(O(0;0)\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - 1 + 5 + x}}{3} = 0}\\{\frac{{ - 5 + 2 + y}}{3} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 4}\\{y = 3.}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(C( - 4;3)\).
Đáp án C.
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) và \(M(4; - 1),N(0;2),P(5;3)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Toạ độ điểm \(B\) là:
A. \((1;6)\).
B. \((9;0)\).
C. \(( - 1; - 2)\).
D. \((0;9)\).
Lời giải
Giả sử \(B(x;y)\). Ta có: \(\overrightarrow {PB} = (x - 5;y - 3),\overrightarrow {NM} = (4; - 3)\).
Vì \(MN\) là đường trung bình ứng với cạnh \(AB\), mà \(P\) là trung điểm \(AB\) nên \(\overrightarrow {PB} = \overrightarrow {NM} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 5 = 4}\\{y - 3 = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 9}\\{y = 0.}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(B(9;0)\).
Đáp án B.
Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 3;4)\) và \(B(6; - 2)\). Điểm \(M\) thuộc trục tung sao cho ba điểm \(A,B,M\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(M\) là:
A. \((0;3)\).
B. \((0; - 3)\).
C. \((0; - 2)\).
D. \((0;2)\).
Lời giải
Do \(M \in Oy\) nên giả sử \(M(0;m)\). Ta có: \(\overrightarrow {AM} = (3;m - 4),\overrightarrow {AB} = (9; - 6)\). Vì \(A,B,M\) thẳng hàng nên \(\frac{3}{9} = \frac{{m - 4}}{{ - 6}} \Leftrightarrow m = 2\). Vậy \(M(0;2)\).
Đáp án D.
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 4;5)\) và \(B(8; - 1)\). Điểm \(P\) thuộc trục hoành sao cho ba điểm \(A,B,P\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(P\) là:
A. \((0;3)\).
B. \((0; - 3)\).
C. \(( - 6;0)\).
D. \((6;0)\).
Lời giải
Do \(P \in Ox\) nên giả sử \(P(p;0)\). Ta có: \(\overrightarrow {AP} = (p + 4; - 5),\overrightarrow {AB} = (12; - 6)\). Vì \(A,B,P\) thẳng hàng nên \(\frac{{p + 4}}{{12}} = \frac{{ - 5}}{{ - 6}} \Leftrightarrow p = 6\). Vậy \(P(6;0)\).
Đáp án D.
Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1;5),B(3;2)\). Điểm \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(B\). Toạ độ điểm \(C\) là:
A. \((5; - 1)\).
B. \(\left( {2;\frac{7}{2}} \right)\).
C. \(( - 1;8)\).
D. \((5;1)\).
Lời giải
\(C\) đối xứng của với \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(AC\).
Giả sử \(C(a;b)\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{a + 1}}{2} = 3}\\{\frac{{b + 5}}{2} = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 5}\\{b = - 1}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(C(5; - 1)\).
Đáp án A.
Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào vuông góc với nhau trong các vectơ \(\vec a = (2; - 1),\vec b = (3;7),\vec c = (3;1)\) và \(\vec d = (2; - 6)\)?
A. \(\vec a\) và \(\vec b\).
B. \(\vec c\) và \(\vec d\).
C. \(\vec a\) và \(\vec c\).
D. \(\vec b\) và \(\vec c\).
Lời giải
Ta có: \(\vec c \cdot \vec d = 3 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 6) = 0\). Suy ra \(\vec c \bot \vec d\).
Đáp án B.
Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), vectơ \(\vec a = ( - 3; - 4)\) có độ dài bằng:
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 25.
Lời giải
Ta có: \(|\vec a| = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 4)}^2}} = 5\).
Đáp án A.
Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 1; - 3)\) và \(B(3; - 2)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) bằng:
A. \(17.\)
B. \(\sqrt {17} \).
C. 5.
D. \(\sqrt 5 \).
Lời giải
Ta có: \(AB = \sqrt {{{[3 - ( - 1)]}^2} + \left[ {( - 2) - {{( - 3)}^2}} \right.} = \sqrt {17} \).
Đáp án B.
Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec u = (2;1),\vec v = ( - 3;1)\). Góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng:
A. \({45^0}\).
B. \({150^0}\).
C. \({135^0}\).
D. \({30^0}\).
Lời giải
Ta có: \(\cos (\vec u,\vec v) = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{2 \cdot ( - 3) + 1 \cdot 1}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{( - 3)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Suy ra \((\vec u,\vec v) = {135^0}\).
Đáp án C.
Câu 29: Trong mặt phẳng tọ̣ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(2;4),B(0; - 2),C(5;3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:
A. \(x - y + 5 = 0\).
B. \(x + y - 5 = 0\).
C. \(x - y + 2 = 0\).
D. \(x + y = 0\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 30: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(5;2),B(5; - 2),C(4; - 3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:
A. \(x - y + 7 = 0\).
B. \(x + y - 7 = 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 31: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(1; - 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(2; - 1)\) là:
A. \(2x + y - 5 = 0\).
B. \(2x - y - 5 = 0\).
C. \(x + 2y + 5 = 0\).
D. \(x + 2y - 5 = 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 32: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u( - 1;4)\) là:
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 4t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 4 + t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 33: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(M(2;4)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 3t}\\{y = - 5 - 4t}\end{array}} \right.\). Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:
A. \(\frac{5}{2}\).
B. 3.
C. 5.
D. \(\frac{9}{5}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 34: Cho hai đường thẳng \({d_1}:3x - 4y + 5 = 0,{d_2}:4x - 3y + 2 = 0\). Điểm \(M\) nào sau đây cách đều hai đường thẳng trên?
A. \(M(1;0)\).
B. \(M(2;3)\).
C. \(M(4; - 2)\).
D. \(M( - 1;2)\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y - 3 = 0\). Đường thẳng nào sau đây có vị trí tương đối trùng với đường thẳng \(\Delta \)?
A. \({\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0\).
B. \({\Delta _2}:2x + y - 3 = 0\).
C. \({\Delta _3}:2x - 4y - 1 = 0\).
D. \({\Delta _4}:2x - 4y - 6 = 0\).
Lời giải
Đáp án D.
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Cho tập hợp \(A = \{ 0;1;2;3;4;5\} \). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có bốn chữ số khác nhau?
Lời giải
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là \(\overline {abcd} \).
Trường hợp 1: \(d = 0\).
Chọn \(d\): có 1 cách. Chọn \(a(a \ne 0)\): có 5 cách.
Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4,3.
Số các số tự nhiên trong trường hợp này là \(1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60\).
Trường hợp 2: \(d \in \{ 2;4\} \).
Chọn \(d\): có 2 cách. Chọn \(a(a \ne 0,a \ne d)\): có 4 cách.
Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4,3.
Số các số tự nhiên trong trường hợp này là \(2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96\).
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(60 + 96 = 156\).
Bài 2. Giải bất phương trình \(2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0\).
Lời giải
Điều kiện: \(n \in \mathbb{N},n \ge 2\).
Ta có: \(2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0 \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{{(n + 1)!}}{{2!(n - 1)!}} + 3 \cdot \frac{{n!}}{{(n - 2)!}} - 20 < 0\) \( \Leftrightarrow n(n + 1) + 3(n - 1)n - 20 < 0 \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 10 < 0 \Leftrightarrow - 2 < n < \frac{5}{2}\).
Vì \(n \in \mathbb{N},n \ge 2 \Rightarrow n = 2\). Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \{ 2\} \).
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j,\vec b = x\vec i - 4\vec j\). Tìm \(x\) để:
a) \(\vec a \bot \vec b\)
b) \(|\vec a| = |\vec b|\).
c) \(\vec a,\vec b\) cùng phương với nhau.
Lời giải
a) Ta có: \(\vec a = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),\vec b = (x; - 4);\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + ( - 5)( - 4) = 0 \Leftrightarrow x = - 40\).
b) Ta có: \(|\vec a| = |\vec b| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{( - 5)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{( - 4)}^2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16} = \frac{{\sqrt {101} }}{2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 16 = \frac{{101}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}\).
c) Ta có: \(\vec a,\vec b\) cùng phương khi và chỉ khi \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}\).
Bài 4. Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).
Lời giải
Hai đường thẳng đã cho có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1; - m),{\vec n_2} = (1;m)\).
Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }} = \cos 60^\circ \Rightarrow \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{1 + {m^2}}} = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow 2\left| {1 - {m^2}} \right| = 1 + {m^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(1 - {m^2}) = 1 + {m^2}}\\{2(1 - {m^2}) = - 1 - {m^2}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} = 1}\\{{m^2} = 3}\end{array} \Rightarrow m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} } \right.} \right.{\rm{. }}\)
Vậy \(m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \) thỏa mãn đề bài.
Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều - Đề số 3 là một bài kiểm tra quan trọng giúp đánh giá mức độ nắm vững kiến thức của học sinh sau nửa học kì. Đề thi này không chỉ kiểm tra khả năng tính toán mà còn đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về đề thi, phân tích các dạng bài tập thường gặp và hướng dẫn giải chi tiết một số câu hỏi điển hình.
Thông thường, đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều - Đề số 3 có cấu trúc bao gồm hai phần chính:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2x + 3 > 5
Lời giải:
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là x > 1.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và có hệ số góc m = -1
Lời giải:
Phương trình đường thẳng có dạng y = mx + b. Thay điểm A(1; 2) và m = -1 vào phương trình, ta có:
2 = -1 * 1 + b => b = 3
Vậy phương trình đường thẳng là y = -x + 3.
Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều - Đề số 3 là một cơ hội tốt để học sinh đánh giá năng lực và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Bằng cách nắm vững kiến thức, luyện tập thường xuyên và áp dụng các lời khuyên trên, học sinh có thể đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi này.
