Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 11 là một trong những đề thi quan trọng giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải toán. Đề thi này được biên soạn theo chương trình học kì 1 Toán 10 Cánh diều, bao gồm các dạng bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 11 kèm theo đáp án chi tiết và lời giải dễ hiểu, giúp học sinh tự học hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi.
Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề?
Trời hôm nay đẹp quá!
New York là thủ đô của Việt Nam.
Con đang làm gì đó?
Số 3 có phải số tự nhiên không?
Dùng các kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng viết lại tập hợp \(A = \{ x \in \mathbb{R}| - 5 \le x < 3\} \) là
(-5;3)
(-5;3]
[-5;3]
[-5;3)
Cặp số (-2;3) là nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?
2x + y + 1 > 0
x + 3y + 1 < 0
2x – y – 1 \( \ge \) 0
x + y + 1 > 0
Trong các hệ sau, hệ nào không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x > 1\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 2\\x - y = 5\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y > 10\\x - 4y < 1\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\x - 4 \le 1\end{array} \right.\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\sin {30^o} = - \sin {150^o}\)
\(\tan {30^o} = - \tan {150^o}\)
\(\cot {30^o} = - \cot {150^o}\)
\(\cos {30^o} = - \cos {150^o}\)
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, CB = a. Chọn mệnh đề sai?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
\({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\)
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos B\)
\({c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba\cos C\)
Cho tam giác ABC. Số các vecto khác \(\overrightarrow 0 \), có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC là
3
6
2
1
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)
\(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1;2\} \)
\(D = \mathbb{R}\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \)
Cho parabol (P): \(y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của (P)?
\(I\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\)
\(I\left( {0;1} \right)\)
\(I\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\)
\(I\left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\)
Cho tam giác ABC có \(\widehat {ABC} = {30^o}\), AB = 5, BC = 8. Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \).
20
\(20\sqrt 3 \)
\(20\sqrt 2 \)
\(40\sqrt 3 \)
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\(f(x) = 3{x^2} + 2x - 5\) là tam thức bậc hai
\(f(x) = 2x - 4\) là tam thức bậc hai
\(f(x) = 3{x^3} + 2x - 1\) là tam thức bậc hai
\(f(x) = {x^4} - {x^2} + 1\) là tam thức bậc hai
Tập nghiệm S của phương trình \(\sqrt {2x - 3} = x - 3\) là
S = {6}
S = {2}
S = {2;6}
S = \(\emptyset \)
An thích ăn hai loại trái cây là cam và xoài. Mỗi tuần, mẹ cho An 200000 đồng để mua trái cây. Biết rằng giá cam là 15000 đồng/kg, giá xoài là 30000 đồng/kg. Gọi x, y lần lượt là số kg cam và xoài mà An có thể mua về sử dụng trong một tuần.
a) Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là 15000x, số tiền An có thể mua xoài là 30000y (x, y > 0).
b) Bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x, y là 3x + 6y \( \ge \) 40.
c) Cặp số (5;4) thỏa mãn bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x, y.
d) An có thể mua 4 kg cam, 5 kg xoài trong tuần.
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {60^o}\), AC = 12, AB = 20.
a) \(\cos C = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\).
b) BC = \(4\sqrt {19} \).
c) \(\widehat C \approx 83,{4^o}\) (làm tròn đến hàng phần mười).
d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R = 4\sqrt {57} \).
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) \(\overrightarrow {GN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \).
b) \(\overrightarrow {GM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \).
c) \(\overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} \).
d) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} \).
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{x + 6}}{{{x^3} - 8}}\).
a) Điều kiện xác định của f(x) là \(x \ne 2\).
b) \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\).
c) \(f(x) > 0\) \(\forall x \in ( - \infty ; - 2) \cup (1;2)\).
d) \(f(x) < 0\) \(\forall x \in ( - 2;1) \cup (2; + \infty )\).
Cho hai tập hợp A = [m – 3; m + 2], B = (-3; 5) với \(m \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên m để \(A \subset B\)?
Đáp án:
Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể người. Theo đó một người mỗi ngày có thể tiếp nhận được không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B; một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn \(\frac{1}{2}\) số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn 3 lần số đơn vị vitamin A. Giá của một đơn vị vitamin A là 9 đồng, giá của một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Hỏi cần chi ít nhất bao nhiêu tiền mỗi ngày để dùng đủ cả hai loại vitamin trên?
Đáp án:
Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết AH = 4 m, HB = 20 m, \(\widehat {BAC} = {45^o}\). Tính chiều cao của cây (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án:
Một vật đang ở vị trí O chịu hai lực tác dụng ngược chiều nhau là \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \), trong đó độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_2}} \)lớn gấp ba lần độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_1}} \). Để giữ đứng yên, người ta cần tác dụng thêm hai lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) và \(\overrightarrow {{F_4}} \), mỗi lực có độ lớn bằng 30 N và hợp với \(\overrightarrow {{F_1}} \) một góc \({30^o}\). Tính tổng độ lớn của hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án:
Giả sử hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm A(0;5) và có đỉnh I(3;-4). Tìm a + b + c.
Đáp án:
Một người nông dân thả 1000 con cá giống vào hồ nuôi vừa mới đào. Biết rằng sau mỗi năm thì số lượng cá trong hồ tăng thêm x lần so với lượng cá ban đầu và x không đổi. Bằng cách thay đổi kỹ thuật nuôi và thức ăn cho cá. Hỏi sau hai năm đề số cá trong hồ là 36000 con thì tốc độ tăng số lượng cá trong hồ x là bao nhiêu? Biết tốc độ tăng mỗi năm là không đổi.
Đáp án:
Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề?
Trời hôm nay đẹp quá!
New York là thủ đô của Việt Nam.
Con đang làm gì đó?
Số 3 có phải số tự nhiên không?
Đáp án : B
Mệnh đề là một khẳng định có tính đúng sai.
B là một mệnh đề. Các đáp án còn lại là câu cảm thán hoặc câu hỏi.
Dùng các kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng viết lại tập hợp \(A = \{ x \in \mathbb{R}| - 5 \le x < 3\} \) là
(-5;3)
(-5;3]
[-5;3]
[-5;3)
Đáp án : D
Áp dụng quy tắc viết các tập con của tập số thực \(A = \{ x \in \mathbb{R}|a \le x < b\} = [a;b)\).
\(A = \{ x \in \mathbb{R}| - 5 \le x < 3\} = [ - 5;3)\).
Cặp số (-2;3) là nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?
2x + y + 1 > 0
x + 3y + 1 < 0
2x – y – 1 \( \ge \) 0
x + y + 1 > 0
Đáp án : D
Thay cặp số vào từng bất phương trình, nếu thỏa mãn thì là nghiệm của bất phương trình đó.
Xét A: 2.(-2) + 3 + 1 > 0 sai nên (-2;3) không là nghiệm của 2x + y + 1 > 0.
Xét B: -2 + 3.3 + 1 < 0 sai nên (-2;3) không là nghiệm của x + 3y + 1 < 0.
Xét C: 2.(-2) – 3 – 1 \( \ge \) 0 sai nên (-2;3) không là nghiệm của 2x – y – 1 \( \ge \) 0.
Xét D: -2 + 3 + 1 > 0 đúng nên (-2;3) là nghiệm của x + y + 1 > 0.
Trong các hệ sau, hệ nào không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x > 1\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 2\\x - y = 5\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y > 10\\x - 4y < 1\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\x - 4 \le 1\end{array} \right.\)
Đáp án : B
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 2\\x - y = 5\end{array} \right.\) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\sin {30^o} = - \sin {150^o}\)
\(\tan {30^o} = - \tan {150^o}\)
\(\cot {30^o} = - \cot {150^o}\)
\(\cos {30^o} = - \cos {150^o}\)
Đáp án : A
Các góc bù nhau có giá trị sin bằng nhau, giá trị cos, tan, cot đối nhau.
\(\sin {30^o} = \sin ({180^o} - {30^o}) = \sin {150^o}\).
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, CB = a. Chọn mệnh đề sai?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
\({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\)
\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos B\)
\({c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba\cos C\)
Đáp án : C
Sử dụng định lí Cosin trong tam giác ABC.
Theo định lí Cosin: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\) nên C sai.
Cho tam giác ABC. Số các vecto khác \(\overrightarrow 0 \), có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC là
3
6
2
1
Đáp án : B
Vecto là một đoạn thẳng có hướng. Từ hai điểm phân biệt, ta có hai vecto khác nhau.
Có 6 vecto khác \(\overrightarrow 0 \) là \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB} \).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)
\(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1;2\} \)
\(D = \mathbb{R}\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \)
Đáp án : A
Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.
Điều kiện xác định của \(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) là \(x - 1 \ne 0\) hay \(x \ne 1\).
Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \).
Cho parabol (P): \(y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của (P)?
\(I\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\)
\(I\left( {0;1} \right)\)
\(I\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\)
\(I\left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\)
Đáp án : A
Hoành độ điểm đỉnh của parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\) là \(x = - \frac{b}{{2a}}\).
Thay vào hàm số tính y.
Hoành độ điểm đỉnh của parabol (P): \(y = 3{x^2} - 2x + 1\) là \(x = - \frac{{ - 2}}{{2.3}} = \frac{1}{3}\).
Tung độ điểm đỉnh của parabol (P): \(y = 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).
Cho tam giác ABC có \(\widehat {ABC} = {30^o}\), AB = 5, BC = 8. Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \).
20
\(20\sqrt 3 \)
\(20\sqrt 2 \)
\(40\sqrt 3 \)
Đáp án : B
Công thức tính tích vô hướng: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = BA.BC\cos \widehat {ABC} = 5.8.\cos {30^o} = 20\sqrt 3 \).
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\(f(x) = 3{x^2} + 2x - 5\) là tam thức bậc hai
\(f(x) = 2x - 4\) là tam thức bậc hai
\(f(x) = 3{x^3} + 2x - 1\) là tam thức bậc hai
\(f(x) = {x^4} - {x^2} + 1\) là tam thức bậc hai
Đáp án : A
Tam thức bậc hai có dạng \(a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
\(f(x) = 3{x^2} + 2x - 5\) là tam thức bậc hai.
Tập nghiệm S của phương trình \(\sqrt {2x - 3} = x - 3\) là
S = {6}
S = {2}
S = {2;6}
S = \(\emptyset \)
Đáp án : A
\(\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = {g^2}(x)\\g(x) \ge 0\end{array} \right.\)
\(\sqrt {2x - 3} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = {x^2} - 6x + 9\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 12 = 0\\x \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6\).
An thích ăn hai loại trái cây là cam và xoài. Mỗi tuần, mẹ cho An 200000 đồng để mua trái cây. Biết rằng giá cam là 15000 đồng/kg, giá xoài là 30000 đồng/kg. Gọi x, y lần lượt là số kg cam và xoài mà An có thể mua về sử dụng trong một tuần.
a) Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là 15000x, số tiền An có thể mua xoài là 30000y (x, y > 0).
b) Bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x, y là 3x + 6y \( \ge \) 40.
c) Cặp số (5;4) thỏa mãn bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x, y.
d) An có thể mua 4 kg cam, 5 kg xoài trong tuần.
a) Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là 15000x, số tiền An có thể mua xoài là 30000y (x, y > 0).
b) Bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x, y là 3x + 6y \( \ge \) 40.
c) Cặp số (5;4) thỏa mãn bất phương trình bậc nhất cho hai ẩn x, y.
d) An có thể mua 4 kg cam, 5 kg xoài trong tuần.
Ứng dụng bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.
a) Đúng. Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là 15000x, số tiền An có thể mua xoài là 30000y (x, y > 0).
b) Sai. Vì mỗi tuần An chỉ có 200000 đồng nên ta có bất phương trình:
\(15000x + 30000y \le 200000 \Leftrightarrow 3x + 6y \le 40\).
c) Đúng. Thay cặp số (5;4) vào bất phương trình vừa tìm: \(3.5 + 6.4 \le 40\) (đúng).
Vậy (5;4) là một nghiệm của bất phương trình.
d) Sai. Thay cặp số (5;4) vào bất phương trình vừa tìm: \(3.4 + 6.5 \le 40\) (sai).
Suy ra (4;5) không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy An không thể mua 4 kg cam và 5 kg xoài trong tuần.
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {60^o}\), AC = 12, AB = 20.
a) \(\cos C = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\).
b) BC = \(4\sqrt {19} \).
c) \(\widehat C \approx 83,{4^o}\) (làm tròn đến hàng phần mười).
d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R = 4\sqrt {57} \).
a) \(\cos C = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\).
b) BC = \(4\sqrt {19} \).
c) \(\widehat C \approx 83,{4^o}\) (làm tròn đến hàng phần mười).
d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R = 4\sqrt {57} \).
Sử dụng định lí Sin, Cosin trong tam giác.
a) Sai. Theo hệ quả định lí Cos trong tam giác ABC: \(\cos C = \frac{{C{A^2} + C{B^2} - A{B^2}}}{{2.CA.CB}}\).
b) Đúng. Theo định lí Cos trong tam giác ABC:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC\cos \widehat A = {20^2} + {12^2} - 2.20.12.\cos {60^o} = 304\).
Suy ra \(BC = 4\sqrt {19} \).
c) Đúng. \(\cos C = \frac{{C{A^2} + C{B^2} - A{B^2}}}{{2.CA.CB}} = \frac{{{{12}^2} + {{\left( {4\sqrt {19} } \right)}^2} - {{20}^2}}}{{2.4\sqrt {19} .20}} = \frac{{\sqrt {19} }}{{38}} \approx 83,{4^o}\).
d) Sai. Áp dụng định lí Sin trong tam giác ABC:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{4\sqrt {19} }}{{2\sin {{60}^o}}} = \frac{{4\sqrt {57} }}{3}\).
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) \(\overrightarrow {GN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \).
b) \(\overrightarrow {GM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \).
c) \(\overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} \).
d) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} \).
a) \(\overrightarrow {GN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \).
b) \(\overrightarrow {GM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \).
c) \(\overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} \).
d) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} \).
Sử dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, trọng tâm.
a) Sai. \(\overrightarrow {GN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \) do hai vecto trên ngược hướng và \(GN = \frac{1}{2}GB\) (tính chất trọng tâm).
b) Đúng. \(\overrightarrow {GM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \) do hai vecto trên ngược hướng và \(GM = \frac{1}{2}GC\) (tính chất trọng tâm).
c) Sai. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \), hay \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {AG} \).
Ta có:
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} = - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} \).
d) Sai. Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó A, G, I thẳng hàng (trọng tâm G thuộc trung tuyến AM).
Lấy điểm D sao cho ABDC là hình bình hành. Khi đó I là trung điểm của AD.
Theo chứng minh trên, \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AG} = - \frac{1}{2}.\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AI} } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AI} = - \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \).
Mà \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành).
Vậy \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} = - \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{x + 6}}{{{x^3} - 8}}\).
a) Điều kiện xác định của f(x) là \(x \ne 2\).
b) \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\).
c) \(f(x) > 0\) \(\forall x \in ( - \infty ; - 2) \cup (1;2)\).
d) \(f(x) < 0\) \(\forall x \in ( - 2;1) \cup (2; + \infty )\).
a) Điều kiện xác định của f(x) là \(x \ne 2\).
b) \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\).
c) \(f(x) > 0\) \(\forall x \in ( - \infty ; - 2) \cup (1;2)\).
d) \(f(x) < 0\) \(\forall x \in ( - 2;1) \cup (2; + \infty )\).
Tìm tập xác định, nghiệm của f(x) và lập bảng xét dấu.
\(f(x) = \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{x + 6}}{{{x^3} - 8}} = \frac{{({x^2} + 2x + 4) - (x + 6)}}{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}}\).
a) Đúng. Điều kiện:
\((x - 2)({x^2} + 2x + 4) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\{x^2} + 2x + 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 2\) (vì \({x^2} + 2x + 4 \ne 0\) luôn đúng).
b) Đúng. \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x - 2}}{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
c) Sai. Bảng xét dấu:
Theo bảng xét dấu: \(f(x) > 0\) \(\forall x \in ( - 2;1) \cup (2; + \infty )\).
d) Sai. Theo bảng xét dấu: \(f(x) < 0\) \(\forall x \in ( - \infty ; - 2) \cup (1;2)\).
Cho hai tập hợp A = [m – 3; m + 2], B = (-3; 5) với \(m \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên m để \(A \subset B\)?
Đáp án:
Đáp án:
\(A \subset B\) thì mọi phần tử thuộc A đều thuộc B.
\(A \subset B\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m - 3 > - 3\\m + 2 < 5\end{array} \right.\) hay \(0 < m < 3\).
Vậy có 2 giá trị nguyên m thỏa mãn là m = 1; m = 2.
Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể người. Theo đó một người mỗi ngày có thể tiếp nhận được không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B; một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn \(\frac{1}{2}\) số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn 3 lần số đơn vị vitamin A. Giá của một đơn vị vitamin A là 9 đồng, giá của một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Hỏi cần chi ít nhất bao nhiêu tiền mỗi ngày để dùng đủ cả hai loại vitamin trên?
Đáp án:
Đáp án:
Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Gọi x, y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B dùng mỗi ngày \((x,y \ge 0)\).
Mỗi ngày có thể tiếp nhận được không quá 600 đơn vị vitamin A nên \(x \le 600\).
Mỗi ngày có thể tiếp nhận được không quá 500 đơn vị vitamin B nên \(y \le 500\).
Mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên \(400 \le x + y \le 1000\).
Mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn \(\frac{1}{2}\) số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn 3 lần số đơn vị vitamin A nên \(\frac{1}{2}x \le y \le 3x\).
Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 600\\0 \le y \le 500\\400 \le x + y \le 1000\\\frac{1}{2}x \le y \le 3x\end{array} \right.\) (*)
Số tiền cần chi là f(x; y) = 9x + 7,5y (đồng).
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f(x; y) trên miền nghiệm của hệ (*).
Miền nghiệm của hệ (*) là miền lục giác ABCDEF (kể cả biên) với \(A(100;300)\), \(B\left( {\frac{{800}}{3};\frac{{400}}{3}} \right)\), \(C(600;300)\), \(E(500;500)\), \(F\left( {\frac{{500}}{3};500} \right)\).
Thay tọa độ các điểm trên vào f(x; y) thấy f(100; 300) = 3150 là giá trị nhỏ nhất.
Vậy cần chi ít nhất 3150 đồng mỗi ngày để dùng đủ lượng vitamin A và B.
Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết AH = 4 m, HB = 20 m, \(\widehat {BAC} = {45^o}\). Tính chiều cao của cây (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng định lí Sin cho tam giác ABC.
Trong tam giác vuông AHB có \(\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}\). Suy ra \(\widehat {ABH} \approx {11^o}19'\).
Ta có \(\widehat {ABH} + \widehat {ABC} = {90^o}\) suy ra \(\widehat {ABC} = {90^o} - \widehat {ABH} \approx {90^o} - {11^o}19' \approx {78^o}41'\).
Xét tam giác ABC có \(\widehat {ACB} = {180^o} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BAC}} \right) \approx {180^o} - \left( {{{78}^o}41' + {{45}^o}} \right) \approx {56^o}19'\).
Áp dụng định lí Sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}\) suy ra \(BC = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} \approx \frac{{\sqrt {{4^2} + {{20}^2}} .\sin {{45}^o}}}{{\sin {{56}^o}19'}} \approx 17\) (m).
Một vật đang ở vị trí O chịu hai lực tác dụng ngược chiều nhau là \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \), trong đó độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_2}} \)lớn gấp ba lần độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_1}} \). Để giữ đứng yên, người ta cần tác dụng thêm hai lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) và \(\overrightarrow {{F_4}} \), mỗi lực có độ lớn bằng 30 N và hợp với \(\overrightarrow {{F_1}} \) một góc \({30^o}\). Tính tổng độ lớn của hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng quy tắc tổng hợp lực, quy tắc hình bình hành.
Dựng hình bình hành OACB sao cho OA = OB = 30, \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC} = {30^o}\) và \(\overrightarrow {OC} \)cùng hướng với \(\overrightarrow {{F_1}} \).
Khi đó \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = 30\), \(\left| {\overrightarrow {{F_4}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = OB = 30\), \(\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {{F_{34}}} = \overrightarrow {OC} \) và \(\left| {\overrightarrow {{F_{34}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right|\).
Vì OA = OB nên OACB là hình thoi. Giả sử I là tâm hình thoi. Xét tam giác AOI vuông tại I:
\(\cos \widehat {OAI} = \frac{{OI}}{{OA}} \Rightarrow OI = OA.\cos \widehat {OAI} = 30.\cos {30^o} = 15\sqrt 3 \Rightarrow OC = 2OI = 30\sqrt 3 = \left| {\overrightarrow {{F_{34}}} } \right|\).
Vì độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) lớn gấp ba lần độ lớn lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) và hai lực này ngược chiều nên \(\overrightarrow {{F_2}} = - 3\overrightarrow {{F_1}} \).
Dưới tác động của 4 lực, vật ở vị trí cân bằng nên ta có:
\(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} - 3\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_{34}}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_{34}}} = 2\overrightarrow {{F_1}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_{34}}} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 30\sqrt 3 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 15\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 3.15\sqrt 3 = 45\sqrt 3 \).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| + \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 15\sqrt 3 + 45\sqrt 3 = 60\sqrt 3 \approx 104\) (N).
Giả sử hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm A(0;5) và có đỉnh I(3;-4). Tìm a + b + c.
Đáp án:
Đáp án:
Thay tọa độ các điểm đồ thị đi qua vào hàm số, sử dụng công thức tọa độ điểm đỉnh để tìm các hệ số.
(P) đi qua A(0;5) nên c = 5.
Hoành độ điểm đỉnh là \({x_I} = \frac{{ - b}}{{2a}} = 3 \Rightarrow 6a + b = 0\) (1)
Mặt khác, điểm I(3;-4) thuộc (P) nên \( - 4 = a{.3^2} + b.3 + 5 \Rightarrow 3a + b = - 3\) (2)
Giải hệ (1), (2) ta có a = 1, b = -6.
Vậy a + b + c = 1 + (-6) + 5 = 0.
Một người nông dân thả 1000 con cá giống vào hồ nuôi vừa mới đào. Biết rằng sau mỗi năm thì số lượng cá trong hồ tăng thêm x lần so với lượng cá ban đầu và x không đổi. Bằng cách thay đổi kỹ thuật nuôi và thức ăn cho cá. Hỏi sau hai năm đề số cá trong hồ là 36000 con thì tốc độ tăng số lượng cá trong hồ x là bao nhiêu? Biết tốc độ tăng mỗi năm là không đổi.
Đáp án:
Đáp án:
Lập phương trình bậc hai theo ẩn x mô tả số lượng cá rồi giải ra nghiệm.
Sau 1 năm, số lượng cá trong hồ là \(1000 + 1000x = 1000(1 + x)\) (con).
Sau 2 năm, số lượng cá trong hồ là \(1000(1 + x) + 1000(1 + x)x = 1000{(1 + x)^2}\) (con).
Điều kiện: \(x > 0\).
Để số lượng cá trong hồ sau 2 năm là 36000 thì ta có \(1000{(1 + x)^2} = 36000 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 7\end{array} \right.\).
Loại x = -7.
Vậy tốc độ tăng số cá mỗi năm là x = 5.
Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 11 đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá năng lực học tập của học sinh sau một học kì ôn luyện. Đề thi này thường bao gồm các chủ đề chính như tập hợp, hàm số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và các kiến thức cơ bản về hình học phẳng.
Cấu trúc đề thi thường được chia thành các phần sau:
Dưới đây là một số dạng bài tập thường xuất hiện trong đề thi:
Để giải đề thi hiệu quả, học sinh cần:
Ngoài đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 11, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi học kì 1 Toán 10, học sinh nên:
Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 11 là một công cụ hữu ích giúp học sinh đánh giá năng lực và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi. Hy vọng với những phân tích chi tiết và hướng dẫn giải trên, các em học sinh sẽ tự tin và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
