Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1. Giới hạn của dãy số - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 1 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu khái niệm giới hạn của dãy số, một trong những khái niệm nền tảng của giải tích. Hiểu rõ về giới hạn dãy số là bước đệm quan trọng để học các khái niệm phức tạp hơn như giới hạn hàm số, đạo hàm và tích phân.

1. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu khi n tiến tới vô cùng, các số hạng của dãy số tiến gần đến L. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

2. Các định nghĩa liên quan

Dãy số hội tụ: Dãy số (u_n) được gọi là hội tụ nếu nó có giới hạn hữu hạn.
Dãy số phân kỳ: Dãy số (u_n) được gọi là phân kỳ nếu nó không có giới hạn hữu hạn (ví dụ: dãy số tiến tới vô cùng hoặc dao động).

3. Các tính chất của giới hạn dãy số

Giới hạn của tổng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
Giới hạn của tích: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
Giới hạn của thương: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (1/n). Dãy số (1/n) hội tụ về 0 khi n tiến tới vô cùng.

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ (n² + 1). Dãy số (n² + 1) phân kỳ vì nó tiến tới vô cùng khi n tiến tới vô cùng.

5. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tính lim_n→∞ (2n + 3).

Bài tập 2: Tính lim_n→∞ (1 - 1/n²).

Bài tập 3: Xác định xem dãy số ((-1)ⁿ) có hội tụ hay phân kỳ.

6. Mở rộng và liên hệ thực tế

Khái niệm giới hạn dãy số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, chẳng hạn như trong việc tính gần đúng các giá trị, mô tả sự thay đổi của các hiện tượng vật lý, và xây dựng các mô hình toán học.

7. Lời khuyên khi học bài

Nắm vững định nghĩa về giới hạn dãy số và các tính chất liên quan.
Luyện tập nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm toán học để kiểm tra kết quả.

8. Kết luận

Bài 1. Giới hạn của dãy số là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức trong bài học này sẽ giúp các em có nền tảng vững chắc để học các bài học tiếp theo trong chương trình giải tích. Chúc các em học tập tốt!