Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - Giải chi tiết

Bài 1 trong chương 1 Toán 12 tập 1, thuộc chương trình ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, là một bước khởi đầu quan trọng để nắm vững phương pháp tiếp cận hàm số một cách toàn diện. Bài học này tập trung vào việc sử dụng đạo hàm để xác định tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) và tìm các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số.

I. Khái niệm cơ bản

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

• Đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x), biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó.
• Tính đơn điệu:
• Hàm số đồng biến trên khoảng (a, b): Nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) < f(x2). Điều kiện cần và đủ là f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b).
• Hàm số nghịch biến trên khoảng (a, b): Nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) > f(x2). Điều kiện cần và đủ là f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b).
• Cực trị:
• Điểm cực đại: Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x thuộc (a, b).
• Điểm cực tiểu: Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x thuộc (a, b).

II. Phương pháp tìm tính đơn điệu và cực trị

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định. Đây là các điểm nghi ngờ là cực trị.
3. Lập bảng xét dấu f'(x). Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số.
4. Kết luận về tính đơn điệu:
• Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
• Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
5. Kết luận về cực trị:
• Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x0 thì x0 là điểm cực đại và f(x0) là giá trị cực đại.
• Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x0 thì x0 là điểm cực tiểu và f(x0) là giá trị cực tiểu.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Giải:

• Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
• Tìm điểm cực trị: f'(x) = 0 <=> 3x² - 6x = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2.
• Lập bảng xét dấu:

Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = (x-1)/(x+1).

...(Tiếp tục giải thích và đưa ra các ví dụ khác, phân tích sâu hơn về các trường hợp đặc biệt, và các bài tập áp dụng để người đọc có thể thực hành và củng cố kiến thức.)

Việc nắm vững kiến thức về tính đơn điệu và cực trị của hàm số là vô cùng quan trọng, không chỉ trong việc giải các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng cho việc hiểu sâu hơn về các khái niệm toán học khác. Giaitoan.edu.vn hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích và giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập.