Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị hàm số Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Đây là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 12, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán về hàm số và ứng dụng của đạo hàm. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ và chi tiết lý thuyết, ví dụ minh họa, giúp bạn hiểu rõ và áp dụng hiệu quả kiến thức vào quá trình học tập và làm bài tập.

Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, dễ hiểu và phù hợp với từng đối tượng học sinh.

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \)) Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0 Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \))

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

Định lý mở rộng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

Nếu f’(x) \( \ge \) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
Nếu f’(x) \( \le \) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\)
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\)

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2

Định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30.\)

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30.

Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Lập BBT của hàm số.
Nêu kết luận về các điểm trực trị và giá trị cực trị

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 3

Tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán! Đừng bỏ lỡ Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều đặc sắc thuộc chuyên mục đề toán lớp 12 trên nền tảng môn toán. Với bộ bài tập toán thpt được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả, sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào đại học mơ ước nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội!

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Chương trình Toán 12 Cánh Diều, phần về hàm số, đặc biệt chú trọng đến việc nắm vững lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị. Đây là nền tảng để giải quyết nhiều dạng bài tập phức tạp, đồng thời là kiến thức quan trọng cho các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≤ f(x₂). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≥ f(x₂).

II. Điều kiện để hàm số đơn điệu

Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta thường sử dụng đạo hàm. Cụ thể:

Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).
Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) không đổi trên (a, b).

III. Khái niệm về cực trị của hàm số

Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b).

IV. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) có cực trị tại x₀ thì f'(x₀) = 0 và x₀ là nghiệm của phương trình f'(x) = 0.

Điều kiện đủ:

Nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.
Nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số.

V. Ứng dụng của lý thuyết tính đơn điệu và cực trị

Lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị có nhiều ứng dụng trong việc:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
Khảo sát hàm số, vẽ đồ thị hàm số.
Giải các bài toán tối ưu hóa.

VI. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Ta có f'(x) = 3x² - 6x. Giải phương trình f'(x) = 0 ta được x = 0 và x = 2.

Tính f''(x) = 6x - 6.

Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, do đó x = 0 là điểm cực đại của hàm số và f(0) = 2.

Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, do đó x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số và f(2) = -2.

VII. Bài tập luyện tập

Xét hàm số f(x) = x⁴ - 4x² + 3. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, bạn đã nắm vững lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.