Chuyên đề Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán 12, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số và ứng dụng thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp một hệ thống kiến thức hoàn chỉnh, từ các định nghĩa cơ bản đến các phương pháp giải bài tập nâng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức một cách hiệu quả.
Hãy cùng khám phá lý thuyết và các ví dụ minh họa chi tiết để hiểu rõ hơn về chủ đề này!
1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm Định lý
1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm
Định lý
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \)). - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0. - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0. |
Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4.
Định lý mở rộng
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). - Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). - Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b). |
2. Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \)) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\). - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\). |
Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2.
Định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó: - Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). - Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x). |
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.
BBT:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30.
Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)
|
Chuyên đề về tính đơn điệu và cực trị của hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp học sinh hiểu sâu hơn về hành vi của hàm số và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về lý thuyết, các định nghĩa, định lý và phương pháp giải bài tập liên quan đến chủ đề này.
1. Tính đơn điệu của hàm số: Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).
2. Cực trị của hàm số: Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) ≥ f(x0) với mọi x thuộc (a, b).
3. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu: Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x) nếu x0 là điểm cực đại. Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x) nếu x0 là điểm cực tiểu.
Nếu hàm số f(x) có cực trị tại điểm x0 thì f'(x0) = 0 và f'(x0) không đổi dấu khi x đi qua x0.
1. Điều kiện đủ để hàm số có cực đại tại x0: Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0 thì hàm số f(x) có cực đại tại x0.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu tại x0: Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) > 0 thì hàm số f(x) có cực tiểu tại x0.
Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Giải:
Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = sinx trên khoảng (0, π). Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Giải:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0, π/2) và nghịch biến trên khoảng (π/2, π).
Khi giải bài tập về tính đơn điệu và cực trị, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và các điểm không xác định của đạo hàm. Việc lập bảng biến thiên là một công cụ hữu ích để xác định tính đơn điệu và cực trị của hàm số một cách chính xác.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12. Chúc bạn học tập tốt!
