Bài 1. Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về khái niệm, công thức và các ứng dụng của xác suất có điều kiện trong chương trình Toán 12 tập 2, sách Cánh diều.

1. Khái niệm xác suất có điều kiện

Giả sử A và B là hai biến cố trong một không gian mẫu Ω. Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa là:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), với P(B) > 0

Trong đó:

P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra.
P(B) là xác suất của biến cố B.

Xác suất có điều kiện P(A|B) cho biết khả năng xảy ra của biến cố A khi chúng ta đã biết chắc chắn rằng biến cố B đã xảy ra.

2. Tính chất của xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện có một số tính chất quan trọng sau:

0 ≤ P(A|B) ≤ 1
P(Ω|B) = 1
P(A|Ω) = P(A)

3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

a. Công thức xác suất đầy đủ:

Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ đầy đủ các biến cố (tức là chúng đôi một xung khắc và hợp của chúng bằng không gian mẫu Ω), thì xác suất của biến cố A có thể được tính bằng công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

b. Công thức Bayes:

Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác. Công thức được phát biểu như sau:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó:

P(B_i|A) là xác suất của biến cố B_i khi biết biến cố A đã xảy ra.
P(A|B_i) là xác suất của biến cố A khi biết biến cố B_i đã xảy ra.
P(B_i) là xác suất của biến cố B_i.
P(A) là xác suất của biến cố A.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “cả hai quả bóng đều màu đỏ”. Ta có:

P(A) = (C₅²) / (C₈²) = 10 / 28 = 5/14

Ví dụ 2: Trong một lớp học có 60% học sinh giỏi môn Toán và 40% học sinh giỏi môn Văn. Biết rằng 20% học sinh giỏi cả hai môn. Tính xác suất một học sinh được chọn ngẫu nhiên là học sinh giỏi môn Toán khi biết học sinh đó giỏi môn Văn.

Giải:

Gọi A là biến cố “học sinh giỏi môn Toán” và B là biến cố “học sinh giỏi môn Văn”. Ta có:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.20 / 0.40 = 0.5

5. Bài tập vận dụng

Một đồng xu được tung 2 lần. Tính xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp, biết rằng ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.
Trong một cuộc khảo sát, 70% người được hỏi thích xem phim hành động và 50% người được hỏi thích xem phim hài. Biết rằng 30% người được hỏi thích xem cả hai loại phim. Tính xác suất một người được hỏi thích xem phim hành động khi biết họ thích xem phim hài.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về xác suất có điều kiện. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.