Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài tập 5 trang 95 SGK Toán 12 tập 2 theo chương trình Cánh diều.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và giúp bạn nắm vững kiến thức Toán học.
Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố: A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”; B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”. Chứng minh rằng A, B là hai biến cố độc lập.
Đề bài
Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:
A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”;
B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
Chứng minh rằng A, B là hai biến cố độc lập.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Sử dụng kiến thức về hai biến cố độc lập để chứng minh: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( A \right),P\left( B \right) < 1\). Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi \(P\left( A \right) = P\left( {A|B} \right) = P\left( {A|\overline B } \right)\) và \(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right) = P\left( {B|\overline A } \right)\).
Lời giải chi tiết
Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{3.7}}{{7.7}} = \frac{3}{7}\). Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{4}{7}\).
Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{7.4}}{{7.7}} = \frac{4}{7}\). Suy ra, \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{3}{4}\).
Biến cố \(A \cap B\): “Lấy ra bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất và bóng màu đỏ ở lần thứ hai”. Suy ra \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{3.4}}{{7.7}} = \frac{{12}}{{49}}\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{12}}{{49}}}}{{\frac{4}{7}}} = \frac{3}{7}\)
Biến cố \(A \cap \overline B \): “Lấy ra bóng màu xanh được lấy ra ở cả hai lần”. Suy ra \(P\left( {A \cap \overline B } \right) = \frac{{3.3}}{{7.7}} = \frac{9}{{49}}\). Khi đó, \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A \cap \overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{\frac{9}{{49}}}}{{\frac{3}{7}}} = \frac{3}{7}\).
Do đó, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {A|B} \right) = P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{3}{7}\left( 1 \right)\).
Lại có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{{12}}{{49}}}}{{\frac{3}{7}}} = \frac{4}{7},P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {\overline A \cap B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{{4.4}}{{49}}}}{{\frac{4}{7}}} = \frac{4}{7}\).
Do đó, \(P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right) = P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{4}{7}\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) suy ra A và B là hai biến cố độc lập.
Bài tập 5 trang 95 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình Cánh diều, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng này là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi Toán THPT.
Bài tập 5 thường bao gồm các hàm số bậc ba hoặc bậc bốn, đòi hỏi học sinh phải tính đạo hàm cấp một và cấp hai, tìm các điểm dừng và xét dấu đạo hàm để xác định tính đơn điệu của hàm số. Sau đó, học sinh cần tìm các điểm cực trị và vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã thu thập được.
Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x3 - 3x2 + 2.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + |
| x | -∞ | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|
| y'' | - | + |
Giải bài tập 5 trang 95 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều đòi hỏi sự nắm vững kiến thức về đạo hàm và kỹ năng giải toán. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
