Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của giaitoan.edu.vn. Chúng tôi xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1, trang 90, 91, 92, 93, 94 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 - Cánh diều.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết cung cấp những lời giải chính xác, logic và giúp các em nắm vững kiến thức.
Một lớp có 17 học sinh nữ và 13 học sinh nam. Ở lớp học đó, có 3 học sinh tên là Thanh, trong đó có 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh lên bảng. Xét hai biến cố sau: A: “Học sinh được gọi lên bảng tên là Thanh”; B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính như thế nào?
Trả lời câu hỏi Bài toán mở đầu trang 90 SGK Toán 12 Cánh diều
Một lớp có 17 học sinh nữ và 13 học sinh nam. Ở lớp học đó, có 3 học sinh tên là Thanh, trong đó có 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh lên bảng. Xét hai biến cố sau:
A: “Học sinh được gọi lên bảng tên là Thanh”;
B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”.
Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính như thế nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
\(A \cap B\) là biến cố: “Học sinh lên bảng tên là Thanh và là học sinh nữ” nên xác suất của biến cố \(A \cap B\) là: \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{30}}\).
Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{17}}{{30}}\).
Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{{17}}{{30}}}} = \frac{1}{{17}}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 90 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong bài toán ở phần mở đầu, hãy tính:
a) Xác suất để học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh, biết rằng học sinh đó là nữ;
b) Tỉ số \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\). Từ đó, hãy so sánh xác suất tính được ở câu a) với tỉ số \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Bài toán mở đầu: Một lớp có 17 học sinh nữ và 13 học sinh nam. Ở lớp học đó, có 3 học sinh tên là Thanh, trong đó có 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh lên bảng. Xét hai biến cố sau:
A: “Học sinh được gọi lên bảng tên là Thanh”;
B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về biến cố giao để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu \(\Omega \). Đặt \(D = A \cap B\), ta nói D là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B, kí hiệu là \(A \cap B\) hay AB.
Lời giải chi tiết:
a) Lớp có 17 học sinh nữ, có 1 học sinh nữ tên là Thanh nên xác suất để học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh, biết rằng học sinh đó là nữ là: \(\frac{1}{{17}}\).
b) \(A \cap B\) là biến cố: “Học sinh lên bảng tên là Thanh và là học sinh nữ” nên xác suất của biến cố \(A \cap B\) là: \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{30}}\).
Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{17}}{{17 + 13}} = \frac{{17}}{{30}}\).
Ta có: \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{{17}}{{30}}}} = \frac{1}{{17}}\)
Do đó, xác suất tính được ở câu a) bằng với tỉ số \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 91 SGK Toán 12 Cánh diều
Một hộp có 6 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng trong hộp, lấy không hoàn lại. Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi A là biến cố: “Lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ”, B là biến cố: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh”. Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh và lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ”.
Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng không hoàn lại vào hộp, nên lần thứ nhất có 10 cách chọn, lần 2 có 9 cách chọn bóng trong số bóng còn lại trong hộp nên \(n\left( \Omega \right) = 10.9 = 90\).
Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh nên có 6 cách chọn, lần thứ hai có 9 cách chọn một quả bóng từ 9 quả còn lại trong hộp. Do đó, \(n\left( B \right) = 6.9 = 54\) nên \(P\left( B \right) = \frac{{54}}{{90}}\).
Lần thứ nhất lấy được bóng màu xanh nên có 6 cách chọn, lần thứ hai lấy bóng màu đỏ nên có 4 cách chọn. Do đó, \(n\left( {A \cap B} \right) = 6.4 = 24\). Suy ra, \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{24}}{{90}}\).
Vậy xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{24}}{{90}}}}{{\frac{{54}}{{90}}}} = \frac{4}{9}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 92 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong hộp đựng 500 chiếc thẻ cùng loại có 200 chiếc thẻ màu vàng. Trên mỗi chiếc thẻ màu vàng có ghi một trong năm số: 1, 2, 3, 4, 5. Có 40 chiếc thẻ màu vàng ghi số 5. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp đựng thẻ. Giả sử chiếc thẻ được chọn ra có màu vàng. Tính xác suất để chiếc thẻ đó ghi số 5.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi A là biến cố: “Chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5”, B là biến cố: “Chiếc thẻ được chọn có màu vàng”. Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Thẻ được chọn màu vàng và ghi số 5”.
Vì có 40 chiếc thẻ màu vàng ghi số 5 nên \(n\left( {A \cap B} \right) = 40\). Do đó, \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{40}}{{500}}\).
Vì có 200 chiếc thẻ màu vàng nên \(n\left( B \right) = 200\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{200}}{{500}}\).
Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{40}}{{500}}}}{{\frac{{200}}{{500}}}} = \frac{1}{5}\). Vậy xác suất để chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5, biết rằng thẻ đó có màu vàng là \(\frac{1}{5}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 93 SGK Toán 12 Cánh diều
Với các giả thiết như ở Ví dụ 4, chọn ngẫu nhiên một người trong số những người thử nghiệm. Tính xác suất để người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm âm tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi A là biến cố: “Người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết”.
B là biến cố: “Người được chọn ra có kết quả xét nghiệm âm tính”.
Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có kết quả xét nghiệm âm tính”.
Theo bảng ở ví dụ 4 ta có: \(n\left( B \right) = 360 + 6\;975 = 7\;335;P\left( B \right) = \frac{{7\;335}}{{9\;000}} = \frac{{163}}{{200}}\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{360}}{{9000}} = \frac{1}{{25}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{25}}}}{{\frac{{163}}{{200}}}} = \frac{8}{{163}}\).
Trả lời câu hỏi Bài toán mở đầu trang 90 SGK Toán 12 Cánh diều
Một lớp có 17 học sinh nữ và 13 học sinh nam. Ở lớp học đó, có 3 học sinh tên là Thanh, trong đó có 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh lên bảng. Xét hai biến cố sau:
A: “Học sinh được gọi lên bảng tên là Thanh”;
B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”.
Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính như thế nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
\(A \cap B\) là biến cố: “Học sinh lên bảng tên là Thanh và là học sinh nữ” nên xác suất của biến cố \(A \cap B\) là: \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{30}}\).
Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{17}}{{30}}\).
Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{{17}}{{30}}}} = \frac{1}{{17}}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 90 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong bài toán ở phần mở đầu, hãy tính:
a) Xác suất để học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh, biết rằng học sinh đó là nữ;
b) Tỉ số \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\). Từ đó, hãy so sánh xác suất tính được ở câu a) với tỉ số \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Bài toán mở đầu: Một lớp có 17 học sinh nữ và 13 học sinh nam. Ở lớp học đó, có 3 học sinh tên là Thanh, trong đó có 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh lên bảng. Xét hai biến cố sau:
A: “Học sinh được gọi lên bảng tên là Thanh”;
B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về biến cố giao để tính: Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu \(\Omega \). Đặt \(D = A \cap B\), ta nói D là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B, kí hiệu là \(A \cap B\) hay AB.
Lời giải chi tiết:
a) Lớp có 17 học sinh nữ, có 1 học sinh nữ tên là Thanh nên xác suất để học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh, biết rằng học sinh đó là nữ là: \(\frac{1}{{17}}\).
b) \(A \cap B\) là biến cố: “Học sinh lên bảng tên là Thanh và là học sinh nữ” nên xác suất của biến cố \(A \cap B\) là: \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{30}}\).
Xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{17}}{{17 + 13}} = \frac{{17}}{{30}}\).
Ta có: \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{{17}}{{30}}}} = \frac{1}{{17}}\)
Do đó, xác suất tính được ở câu a) bằng với tỉ số \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 91 SGK Toán 12 Cánh diều
Một hộp có 6 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng trong hộp, lấy không hoàn lại. Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi A là biến cố: “Lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ”, B là biến cố: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh”. Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh và lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ”.
Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng không hoàn lại vào hộp, nên lần thứ nhất có 10 cách chọn, lần 2 có 9 cách chọn bóng trong số bóng còn lại trong hộp nên \(n\left( \Omega \right) = 10.9 = 90\).
Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh nên có 6 cách chọn, lần thứ hai có 9 cách chọn một quả bóng từ 9 quả còn lại trong hộp. Do đó, \(n\left( B \right) = 6.9 = 54\) nên \(P\left( B \right) = \frac{{54}}{{90}}\).
Lần thứ nhất lấy được bóng màu xanh nên có 6 cách chọn, lần thứ hai lấy bóng màu đỏ nên có 4 cách chọn. Do đó, \(n\left( {A \cap B} \right) = 6.4 = 24\). Suy ra, \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{24}}{{90}}\).
Vậy xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{24}}{{90}}}}{{\frac{{54}}{{90}}}} = \frac{4}{9}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 92 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong hộp đựng 500 chiếc thẻ cùng loại có 200 chiếc thẻ màu vàng. Trên mỗi chiếc thẻ màu vàng có ghi một trong năm số: 1, 2, 3, 4, 5. Có 40 chiếc thẻ màu vàng ghi số 5. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp đựng thẻ. Giả sử chiếc thẻ được chọn ra có màu vàng. Tính xác suất để chiếc thẻ đó ghi số 5.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi A là biến cố: “Chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5”, B là biến cố: “Chiếc thẻ được chọn có màu vàng”. Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Thẻ được chọn màu vàng và ghi số 5”.
Vì có 40 chiếc thẻ màu vàng ghi số 5 nên \(n\left( {A \cap B} \right) = 40\). Do đó, \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{40}}{{500}}\).
Vì có 200 chiếc thẻ màu vàng nên \(n\left( B \right) = 200\). Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{200}}{{500}}\).
Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{40}}{{500}}}}{{\frac{{200}}{{500}}}} = \frac{1}{5}\). Vậy xác suất để chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5, biết rằng thẻ đó có màu vàng là \(\frac{1}{5}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 93 SGK Toán 12 Cánh diều
Với các giả thiết như ở Ví dụ 4, chọn ngẫu nhiên một người trong số những người thử nghiệm. Tính xác suất để người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm âm tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi A là biến cố: “Người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết”.
B là biến cố: “Người được chọn ra có kết quả xét nghiệm âm tính”.
Khi đó, \(A \cap B\) là biến cố: “Người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có kết quả xét nghiệm âm tính”.
Theo bảng ở ví dụ 4 ta có: \(n\left( B \right) = 360 + 6\;975 = 7\;335;P\left( B \right) = \frac{{7\;335}}{{9\;000}} = \frac{{163}}{{200}}\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{360}}{{9000}} = \frac{1}{{25}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{{25}}}}{{\frac{{163}}{{200}}}} = \frac{8}{{163}}\).
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 2 - Cánh diều tập trung vào các kiến thức về Đạo hàm của hàm số lượng giác. Đây là một phần quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức và kỹ năng tính đạo hàm để áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 1, trang 90, 91, 92, 93, 94 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều:
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số y = 2sin(x) + 3cos(x).
Lời giải:
y' = 2cos(x) - 3sin(x)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số y = tan(x) - cot(x).
Lời giải:
y' = 1/cos2(x) + 1/sin2(x)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số y = sin2(x).
Lời giải:
y' = 2sin(x)cos(x) = sin(2x)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số y = cos(2x).
Lời giải:
y' = -2sin(2x)
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(x2).
Lời giải:
y' = 2xcos(x2)
Đạo hàm hàm số lượng giác có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải các bài tập trong mục 1, trang 90, 91, 92, 93, 94 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!
