Bài 2. Dãy số

Bài 2. Dãy số - SGK Toán 11 Nâng cao: Tổng quan và kiến thức trọng tâm

Bài 2 trong SGK Toán 11 Nâng cao, chương III, tập trung vào việc nghiên cứu về dãy số, một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học. Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Việc hiểu rõ về dãy số là nền tảng để tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn trong chương trình học.

1. Khái niệm dãy số

Một dãy số là một hàm số u: N → R (hoặc một tập con của N) được xác định bởi công thức tổng quát u_n. Mỗi số hạng của dãy số được gọi là một phần tử của dãy. Dãy số có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

2. Các loại dãy số đặc biệt

• Dãy số tăng: Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n.
• Dãy số giảm: Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n.
• Dãy số không đổi: Dãy số (u_n) được gọi là dãy số không đổi nếu u_n+1 = u_n với mọi n.
• Dãy số bị chặn: Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M với mọi n. Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m với mọi n.

3. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (công sai, d) vào số hạng trước đó. Công thức tổng quát của cấp số cộng là: u_n = u₁ + (n-1)d.

Các tính chất quan trọng của cấp số cộng:

• Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

4. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi (tỉ số, q). Công thức tổng quát của cấp số nhân là: u_n = u₁ * q^(n-1).

Các tính chất quan trọng của cấp số nhân:

• Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

5. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có u₁ = 2 và d = 3. Tìm u₅ và S₅.

Giải:

• u₅ = u₁ + (5-1)d = 2 + 4*3 = 14
• S₅ = 5/2 * (u₁ + u₅) = 5/2 * (2 + 14) = 40

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2. Tìm u₆ và S₆.

Giải:

• u₆ = u₁ * q^(6-1) = 1 * 2⁵ = 32
• S₆ = 1 * (1 - 2⁶) / (1 - 2) = (1 - 64) / (-1) = 63

6. Ứng dụng của dãy số

Dãy số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính lãi kép
• Mô tả sự tăng trưởng dân số
• Tính toán các khoản vay

7. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về dãy số, bạn nên luyện tập thêm các bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy tìm hiểu kỹ các công thức và phương pháp giải bài tập để có thể áp dụng vào các tình huống thực tế.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 2. Dãy số - SGK Toán 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!