Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các khái niệm khác đã được học để giải quyết.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho dãy số (un) xác định bởi
Đề bài
Cho dãy số (un) xác định bởi
\(\displaystyle {u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\) với mọi \(\displaystyle n ≥ 1\)
Chứng minh rằng (un) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính một vài số hạng đầu, nhận xét các số hạng của dãy.
- Chứng minh nhận xét bằng phương pháp quy nạp.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_2} = \frac{2}{{u_1^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\{u_3} = \frac{2}{{u_2^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\...\end{array}\)
Do đó, dự đoán \(\displaystyle u_n= 1\) (1) \(\displaystyle ∀ n \in \mathbb N^*\).
Ta chứng minh bằng qui nạp như sau:
+) Rõ ràng (1) đúng với \(\displaystyle n = 1\)
+) Giả sử (1) đúng với \(\displaystyle n = k\), tức là ta có \(\displaystyle u_k = 1\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(\displaystyle n = k + 1\).
Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có :
\(\displaystyle {u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1\)
Vậy (1) đúng với \(\displaystyle n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(\displaystyle n \in \mathbb N^*\)
Bài tập 17 trang 109 trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh các chủ đề về đạo hàm của hàm số, ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số, hoặc các bài toán liên quan đến giới hạn. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:
Để giải quyết bài tập này, bước đầu tiên là đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số, khảo sát hàm số, hoặc giải một phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm. Việc hiểu rõ đề bài là yếu tố then chốt để tìm ra phương pháp giải phù hợp.
Giả sử đề bài yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x + 1.
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x + 1 là f'(x) = 3x2 - 6x + 2.
Ngoài bài tập 17 trang 109, còn rất nhiều bài tập tương tự trong sách giáo khoa và các đề thi. Để giải quyết các bài tập này, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập, bạn nên luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong sách giáo khoa, sách bài tập, và các đề thi thử. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán khó.
Câu 17 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Bằng cách nắm vững lý thuyết, phân tích đề bài, và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, bạn có thể tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự.
