Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaitoan.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Cho dãy số (un) xác định bởi
Chứng minh rằng (un) là một dãy số tăng.
Lời giải chi tiết:
Từ hệ thức xác định dãy số (un), ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0\;\forall n \ge 1.\)
Do đó (un) là một dãy số tăng.
Chứng minh rằng
\({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\).
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh \({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\) (1) với mọi \(n ≥ 1\), bằng phương pháp qui nạp.
+) Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = 1 = 1 + \left( {1 - 1} \right){.2^1}.\) Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)
+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in\mathbb N^*\), tức là:
\({u_k} = 1 + \left( {k - 1} \right){2^k}\)
+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết qui nạp, ta có :
\({u_{k + 1}} = {u_k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} \)
\(= 1 + \left( {k - 1} \right){.2^k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} \)
\( = 1 + k{.2^k} - {2^k} + k{.2^k} + {2^k} \)
\(= 1 + 2k{.2^k}= 1 + k{.2^{k + 1}}\)
Vậy (1) đúng với mọi \(n ≥ 1\).
Câu 16 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm là vô cùng quan trọng để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số cụ thể và yêu cầu chúng ta thực hiện các bước khảo sát hàm số như sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số được cho là: f(x) = x^3 - 3x^2 + 2
Hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là tập số thực, tức là D = R.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là: f'(x) = 3x^2 - 6x
Để tìm các điểm cực trị, chúng ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = 2. Đây là các điểm cực trị của hàm số.
Chúng ta xét dấu của đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định:
x < 0, f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0).0 < x < 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).x > 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (2, +∞).Dựa vào các thông tin đã phân tích, chúng ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Đồ thị hàm số sẽ có các điểm cực trị tại (0, 2) và (2, -2). Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần lưu ý một số điểm sau:
Kiến thức về khảo sát hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, như:
Câu 16 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số. Việc nắm vững kiến thức và thực hành giải nhiều bài tập tương tự sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế.
