Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp - SGK Toán 12 - Cánh diều

I. Khái niệm Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) trên một khoảng I là một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ: ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)

II. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp

1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)

2. Nguyên hàm của hàm số 1/x

∫(1/x) dx = ln|x| + C

3. Nguyên hàm của hàm số e^x

∫e^x dx = e^x + C

4. Nguyên hàm của hàm số a^x

∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C

5. Nguyên hàm của hàm số sin(x)

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

6. Nguyên hàm của hàm số cos(x)

∫cos(x) dx = sin(x) + C

III. Tính chất của nguyên hàm

1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
2. ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
3. ∫kf(x) dx = k∫f(x) dx (với k là hằng số)

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính ∫x³ dx

Giải: ∫x³ dx = (x⁴)/4 + C

Bài 2: Tính ∫(2/x) dx

Giải: ∫(2/x) dx = 2∫(1/x) dx = 2ln|x| + C

Bài 3: Tính ∫e^2x dx

Giải: Đặt u = 2x, du = 2dx => dx = du/2. ∫e^2x dx = ∫e^u (du/2) = (1/2)∫e^u du = (1/2)e^u + C = (1/2)e^2x + C

V. Lưu ý quan trọng

• Luôn nhớ thêm hằng số tích phân C khi tính nguyên hàm.
• Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản một cách linh hoạt.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm vừa tìm được, xem có bằng hàm số ban đầu hay không.

Hy vọng với bài viết này, các em đã nắm vững kiến thức về nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!