Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto - SGK Toán 12 - Cánh diều

Bài 3 trong chương trình Toán 12 tập 1 - Cánh diều tập trung vào việc thiết lập các công thức biểu diễn các phép toán trên vectơ thông qua tọa độ của chúng. Đây là một bước quan trọng trong việc ứng dụng vectơ vào giải quyết các bài toán hình học không gian và các bài toán vật lý.

1. Phép cộng và phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x_a; y_a; z_a) và b = (x_b; y_b; z_b).

• Phép cộng:a + b = (x_a + x_b; y_a + y_b; z_a + z_b)

• Phép trừ:a - b = (x_a - x_b; y_a - y_b; z_a - z_b)

Như vậy, để cộng hoặc trừ hai vectơ, ta cộng hoặc trừ các tọa độ tương ứng của chúng.

2. Phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x_a; y_a; z_a) và một số thực k.

Phép nhân: ka = (kx_a; ky_a; kz_a)

Phép nhân vectơ với một số thực đơn giản là nhân mỗi tọa độ của vectơ với số thực đó.

3. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a = (x_a; y_a; z_a) và b = (x_b; y_b; z_b).

Tích vô hướng:a ⋅ b = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b

Tích vô hướng của hai vectơ là một số thực. Nó có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học, ví dụ như tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.

4. Ví dụ minh họa

Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0).

• a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)

• a - b = (1 + 2; 2 - 1; 3 - 0) = (3; 1; 3)

• 2a = (2 * 1; 2 * 2; 2 * 3) = (2; 4; 6)

• a ⋅ b = (1 * -2) + (2 * 1) + (3 * 0) = -2 + 2 + 0 = 0

Ví dụ trên cho thấy a và b là hai vectơ vuông góc vì tích vô hướng của chúng bằng 0.

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

1. Cho a = (2; -1; 3) và b = (1; 0; -2). Tính a + b, a - b, 3a và a ⋅ b.
2. Tìm một vectơ c = (x; y; z) sao cho a + c = b, với a = (1; 2; 3) và b = (4; 5; 6).

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Chúc các em học tập tốt!