Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong chương trình Toán 12 Cánh Diều.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về cách biểu diễn các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực, và tích vô hướng của các vecto trong hệ tọa độ.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các công thức, tính chất và ứng dụng thực tế của lý thuyết này.
1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto
1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\). và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\). Ta có: ·\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (x + x';y + y';z + z')\) ·\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = (x - x';y - y';z - z')\) \(k\overrightarrow a = (kx;ky;kz)\) với k là một số thực |
2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó: ·Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{2}} \right)\) |
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
| Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\) |
4. Cách tìm tọa độ của một vecto vuông góc với hai vecto cho trước
Cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) không cùng phương. Khi đó, vecto \(\overrightarrow w = (yz' - y'z;zx' - z'x;xy' - x'y)\) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) |
Trong chương trình Toán 12, phần Hình học Vectơ đóng vai trò quan trọng, và việc nắm vững lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết này theo chương trình Cánh Diều, giúp các em học sinh hiểu rõ và áp dụng hiệu quả.
Để hiểu về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto, trước tiên chúng ta cần nắm vững khái niệm về vectơ trong không gian và hệ tọa độ. Một vectơ trong không gian được xác định bởi hướng và độ dài. Trong hệ tọa độ Oxyz, một vectơ được biểu diễn bằng tọa độ (x; y; z), trong đó x, y, z là các số thực.
Cho hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2).
Phép cộng vectơ:a + b = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2)
Phép trừ vectơ:a - b = (x1 - x2; y1 - y2; z1 - z2)
Phép cộng và phép trừ vectơ tuân theo các tính chất giao hoán và kết hợp.
Cho vectơ a = (x; y; z) và một số thực k. Phép nhân vectơ a với k được định nghĩa như sau:
ka = (kx; ky; kz)
Phép nhân vectơ với một số thực tuân theo các tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ và phép nhân số thực.
Cho hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2). Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a.b, được tính như sau:
a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm:
Tính góc giữa hai vectơ: cos θ = (a.b) / (||a|| ||b||)
Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: a.b = 0
Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học không gian, đặc biệt là:
Chứng minh các đẳng thức vectơ.
Tìm tọa độ của các điểm và vectơ.
Tính góc giữa hai vectơ và khoảng cách giữa hai điểm.
Xác định vị trí tương đối của các điểm và đường thẳng trong không gian.
Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và 2a.
a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
2a = (2 * 1; 2 * 2; 2 * 3) = (2; 4; 6)
Ví dụ 2: Cho a = (2; -1; 1) và b = (1; 0; -2). Tính a.b.
a.b = (2 * 1) + (-1 * 0) + (1 * -2) = 2 + 0 - 2 = 0
Vậy hai vectơ a và b vuông góc với nhau.
Lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Cánh Diều. Việc nắm vững lý thuyết này sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cần thiết và hữu ích.
