Bài 3. Tích phân

Bài 3. Tích phân - SBT Toán 12 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 3 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về nguyên hàm và tích phân để giải quyết các bài toán cụ thể. Nội dung bài học bao gồm các dạng bài tập về tính tích phân xác định, tính tích phân không xác định, và ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các môn học liên quan đến toán học và khoa học kỹ thuật.

I. Kiến thức nền tảng

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức nền tảng về tích phân:

• Nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F'(x) = f(x).
• Tích phân không xác định: Ký hiệu ∫f(x)dx, là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x).
• Tích phân xác định: Ký hiệu ∫_a^bf(x)dx, biểu diễn diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành, và hai đường thẳng x = a, x = b.
• Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần.

II. Giải bài tập Bài 3. Tích phân - SBT Toán 12 - Cánh diều

Bài 1: Tính các tích phân sau

Ví dụ 1: ∫₀¹ (2x + 1) dx

Lời giải:

1. Tìm nguyên hàm của (2x + 1): F(x) = x² + x + C
2. Tính F(1) và F(0): F(1) = 1² + 1 = 2; F(0) = 0² + 0 = 0
3. Tính tích phân xác định: ∫₀¹ (2x + 1) dx = F(1) - F(0) = 2 - 0 = 2

Bài 2: Tính các tích phân sau (sử dụng phương pháp đổi biến số)

Ví dụ 2: ∫₀^π/2 sin(2x) dx

Lời giải:

1. Đặt t = 2x, dt = 2dx => dx = dt/2
2. Đổi cận: Khi x = 0, t = 0; Khi x = π/2, t = π
3. Thay vào tích phân: ∫₀^π sin(t) dt/2 = (1/2) ∫₀^π sin(t) dt
4. Tính tích phân: (1/2) [-cos(t)]₀^π = (1/2) [-cos(π) + cos(0)] = (1/2) [1 + 1] = 1

Bài 3: Tính các tích phân sau (sử dụng phương pháp tích phân từng phần)

Ví dụ 3: ∫x cos(x) dx

Lời giải:

1. Đặt u = x, dv = cos(x) dx
2. Tính du = dx, v = sin(x)
3. Áp dụng công thức tích phân từng phần: ∫u dv = uv - ∫v du
4. ∫x cos(x) dx = x sin(x) - ∫sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C

III. Lưu ý khi giải bài tập tích phân

• Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm để xem có bằng với hàm số ban đầu hay không.
• Khi sử dụng phương pháp đổi biến số, cần đổi cả cận tích phân để đảm bảo tính chính xác.
• Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần, cần chọn u và dv một cách hợp lý để đơn giản hóa tích phân.
• Nắm vững các công thức tích phân cơ bản để áp dụng vào giải bài tập một cách nhanh chóng và hiệu quả.

IV. Kết luận

Bài 3. Tích phân - SBT Toán 12 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tích phân và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tích phân.