Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 4 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Đây là một chủ đề quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu sắc về tính chất của hàm số và khả năng ứng dụng của đạo hàm trong việc phân tích và biểu diễn chúng.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các kiến thức lý thuyết sau:

• Tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
• Chiều biến thiên của hàm số: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
• Cực trị của hàm số: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
• Giới hạn của hàm số: Tính giới hạn của hàm số tại vô cùng và các điểm gián đoạn.
• Bảng biến thiên: Tổng hợp các thông tin về tập xác định, chiều biến thiên, cực trị và giới hạn để vẽ bảng biến thiên.
• Đồ thị hàm số: Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đặc biệt để vẽ đồ thị hàm số.

II. Phương pháp giải bài tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1. Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.
2. Bước 2: Tính đạo hàm cấp nhất y'.
3. Bước 3: Tìm các điểm tới hạn (điểm mà y' = 0 hoặc y' không xác định).
4. Bước 4: Lập bảng biến thiên của y'. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
5. Bước 5: Tìm cực trị của hàm số.
6. Bước 6: Tính giới hạn của hàm số tại vô cùng và các điểm gián đoạn.
7. Bước 7: Lập bảng biến thiên của hàm số.
8. Bước 8: Vẽ đồ thị hàm số.

III. Giải bài tập cụ thể trong SBT Toán 12 Kết nối tri thức

Trong sách bài tập, các bài tập thường yêu cầu khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số khác nhau, bao gồm:

• Hàm số đa thức
• Hàm số hữu tỉ
• Hàm số lượng giác

Để giải quyết các bài tập này, bạn cần áp dụng các bước đã nêu ở trên một cách cẩn thận và chính xác. Đặc biệt, cần chú ý đến việc xác định đúng tập xác định, tính đạo hàm chính xác và phân tích đúng dấu của đạo hàm để xác định chiều biến thiên của hàm số.

IV. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = x³ - 3x² + 2. Chúng ta sẽ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này:

1. Tập xác định: R
2. Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
3. Điểm tới hạn: y' = 0 => x = 0 hoặc x = 2
4. Bảng biến thiên của y':

   x	-∞	0	2	+∞
   y'	+	-	+
   y	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

5. Cực trị: Điểm cực đại: (0, 2); Điểm cực tiểu: (2, -2)
6. Giới hạn: lim_x→+∞ y = +∞; lim_x→-∞ y = -∞
7. Bảng biến thiên của hàm số: (Tương tự như bảng biến thiên của y', nhưng thêm thông tin về giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và giới hạn)
8. Đồ thị hàm số: (Vẽ đồ thị dựa trên bảng biến thiên và các điểm đặc biệt)

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức cung cấp nhiều bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn rèn luyện kỹ năng và tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn.