Bài 4. Khoảng cách trong không gian

Bài 4. Khoảng cách trong không gian - Giải Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trong chương VIII của SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2 đi sâu vào việc tính toán khoảng cách giữa các đối tượng hình học trong không gian ba chiều. Việc nắm vững các công thức và phương pháp tính toán khoảng cách là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian và phép chiếu song song.

1. Khái niệm khoảng cách trong không gian

Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó. Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x₁, y₁, z₁) và B(x₂, y₂, z₂) được cho bởi:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức:

d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d₁ và d₂, ta thực hiện các bước sau:

1. Chọn một điểm M thuộc d₁.
2. Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d₂.

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng, gọi là a và b.
2. Tính vectơ c = a x b (tích có hướng của a và b).
3. Chọn một điểm M thuộc d₁ và một điểm N thuộc d₂.
4. Tính vectơ MN.
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng là: d = |MN . c| / ||c||

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Giải:

AB = √((4-1)² + (5-2)² + (6-3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(0, 0, 0) đến mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 5 = 0.

Giải:

d(M, (P)) = |2(0) + 3(0) - (0) + 5| / √(2² + 3² + (-1)²) = 5 / √14 = 5√14 / 14

6. Lưu ý khi giải bài tập về khoảng cách trong không gian

• Nắm vững các công thức tính khoảng cách.
• Xác định đúng các yếu tố cần thiết để áp dụng công thức (tọa độ điểm, phương trình mặt phẳng, vectơ chỉ phương đường thẳng,...).
• Sử dụng các tính chất hình học để đơn giản hóa bài toán.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

7. Ứng dụng của việc tính khoảng cách trong không gian

Việc tính khoảng cách trong không gian có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Kiến trúc và xây dựng: Tính toán khoảng cách giữa các điểm, mặt phẳng để thiết kế và thi công công trình.
• Địa lý và hàng không: Xác định khoảng cách giữa các địa điểm trên bản đồ, tính toán đường bay.
• Vật lý: Tính toán khoảng cách giữa các vật thể trong không gian.
• Đồ họa máy tính: Tạo ra các mô hình 3D và tính toán khoảng cách giữa các đối tượng trong mô hình.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về cách giải Bài 4. Khoảng cách trong không gian - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.