Lý thuyết Khoảng cách trong không gian - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Khoảng cách trong không gian - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, phần Hình học không gian đóng vai trò quan trọng, và việc nắm vững lý thuyết về khoảng cách là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về khoảng cách trong không gian, bao gồm các định nghĩa, công thức và ví dụ minh họa.

1. Khoảng cách giữa hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B). Khoảng cách giữa hai điểm A và B được tính theo công thức:

AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)

Ví dụ: Cho A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Khi đó:

AB = √((4-1)² + (5-2)² + (6-3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và đường thẳng Δ có phương trình:

{ x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct }

Khoảng cách d từ điểm M đến đường thẳng Δ được tính theo công thức:

d = |[ (x₀ - x₁)b - (y₀ - y₁)a ] / √(a² + b² + c²)|

Trong đó (x₁, y₁, z₁) là một điểm thuộc đường thẳng Δ.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và mặt phẳng (P) có phương trình:

Ax + By + Cz + D = 0

Khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

Ví dụ: Cho điểm M(1, 2, 3) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0. Khi đó:

d = |2(1) - 2 + 3 + 1| / √(2² + (-1)² + 1²) = |4| / √6 = 4/√6 = (4√6)/6 = (2√6)/3

4. Ứng dụng của lý thuyết khoảng cách trong không gian

Lý thuyết khoảng cách trong không gian có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Tính khoảng cách giữa các vật thể trong không gian.
• Xác định vị trí tương đối của các điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
• Giải quyết các bài toán về tối ưu hóa trong không gian.

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về lý thuyết khoảng cách trong không gian, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Tính khoảng cách giữa hai điểm A(2, -1, 0) và B(0, 3, -4).
2. Tính khoảng cách từ điểm M(1, 1, 1) đến đường thẳng có phương trình tham số: { x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t }.
3. Tính khoảng cách từ điểm N(0, 0, 0) đến mặt phẳng 3x - 4y + 12z - 5 = 0.

6. Kết luận

Lý thuyết Khoảng cách trong không gian là một phần quan trọng của chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Việc nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập.